Question

已知關(guān)于x的一元四次方程x⁴+px²+qx+r=0有三個相等的實根和另一個與之不同的實根，則下列三個命題中真命題有（　　）個
①p+q=r可能成立；②p+r=q可能成立；③q+r=p可能成立．

A、0

B、1

C、2

D、3

Answer 1

分析：設(shè)三個相等的根為m，另一個與之不同的根為n，則（x-m）³（x-n）=0，展開得：x⁴-（3m+n）x³+（3m²+2m+mn）x²-（m³+3m²n）x+m³n=0，根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等即可得出答案．

解答：解：設(shè)三個相等的根為m，另一個與之不同的根為n，則（x-m）³（x-n）=0，
展開得：x⁴-（3m+n）x³+（3m²+2m+mn）x²-（m³+3m²n）x+m³n=0，
∴根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等：3m+n=0，3m²+2m+mn=p，-（m³+3m²n）=q，m³n=r，
把n=-3m代入得：p=2m，q=8m³，r=-3m⁴，
故當m＜0時，p＜0，q＜0，r＜0，
當m＞0時，p＞0，q＞0，r＜0，
故p+r=q可能成立，q+r=p可能成立．
故選C．

點評：本題考查了高次方程，難度較大，關(guān)鍵是設(shè)出方程的根，根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等求出p，q，r的關(guān)系．