Question

如圖，正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形EFCG，EF交AD于點(diǎn)H．
（1）求證：AH=EH；
（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，求DH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連CH，由正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形EFCG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CF=CD，∠DCG=30°，易證得Rt△CFH≌Rt△CDH，則HF=HD，即可得到結(jié)論；
（2）由（1）得Rt△CFH≌Rt△CDH，有∠FCH=∠DCH，而∠DCG=30°，得∠DCF=90°-30°=60°，所以∠DCH=30°，而CD=3，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系即可求出DH的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連CH，如圖，
∵正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形EFCG，
∴CF=CD，∠DCG=30°，
而CH公共，
∴Rt△CFH≌Rt△CDH，
∴HF=HD，
∴AH=HE；

（2）解：由（1）得Rt△CFH≌Rt△CDH，
∴∠FCH=∠DCH，
而∠DCG=30°，
∴∠DCF=90°-30°=60°，
∴∠DCH=30°，
而正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，即CD=3，
∵在直角三角形中，三邊之比為1：

3

：2．
∴DH=

3

3

DC=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．