Question

推理證明：如圖1，在正方形ABCD和正方形CGFE中，連結(jié)DE、BG，設(shè)△DCE的面積為S₁，△BCG的面積為S₂，求證：S₁=S₂．

猜想論證：如圖2，將矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到矩形FECG，連結(jié)DE、BG，設(shè)△DCE的面積為S₁，△BCG的面積為S₂，猜想S₁、S₂的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

拓展探究：如圖3，在△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=30°，把△ABC沿AC翻折到△ACE，過點A作AD∥CE交BC于點D，在線段CE上存在點P，使△ABP的面積等于△ACD的面積，請你直接寫出CP的長．

Answer 1

證明：如圖1，過點E作EM⊥DC于M點，過點G作GN⊥BC交BC的延長線于N點，

∴∠EMC=∠N=90°，

∵四邊形ABCD和四邊形ECGF為正方形，

∴∠BCD=∠DCN=∠ECG=90°，CB=CD，CE=CG，

∴∠1=90°﹣∠2，∠3=90°﹣∠2，

∴∠1=∠3．

在△CME和△CNG中

∴△CME≌△CNG（ASA）．

∴EM=GN．

又∵S₁=CD•EM，S₂=CB•GN，

∴S₁=S₂；

猜想論證：

猜想：S₁=S₂，

證明：如圖2，過點E作EM⊥DC于M，過點B作BN⊥GC交GC的延長線于點N，

∴∠EMC=∠N=90°，

∵矩形CGFE由矩形ABCD旋轉(zhuǎn)得到的，

∴CE=CB，CG=CD，

∵∠ECG=∠ECN=∠BCD=90°，

∴∠1=90°﹣∠2，∠3=90°﹣∠2，∴∠1=∠3．

在△CME和△CNB中

∴△CME≌△CNB（ASA）．

∴EM=BN．  

又∵S₁=CD•EM，S₂=CG•BN，

∴S₁=S₂；

拓展探究：cm或cm．

證明：如圖3，作DM⊥AC于M，延長BA，交EC于N，

∵AB=AC=10cm，∠B=30°，

∴∠ACB=∠ABC=30°，

∴∠BAC=120°，

根據(jù)對折的性質(zhì)，∠ACE=∠ACB=30°，

∵AD∥CE，

∴∠DAC=∠ACE=30°，

∴∠BAD=90°，DM=AD，

∴BN⊥EC，

∵AD=tan∠ABD•AB，AB=10cm，

∴AD=tan30°×10=，

∴DM=×=，

∵S_△ABP=AB•PN，S_△ADC=AC•DM，S_△ABP=S_△ADC，AB=AC，

∴PN=DM=，

在RT△ANC中∠ACN=30°，AC=10cm，

∴NC=cos∠ACN•AC=cos30°×10=5，

∵在EC上到N的距離等于的點有兩個，

∴P′C=cm，P^″C=cm，

∴CP的長為：cm或cm．