在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,1),過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸,垂足為點(diǎn)B,△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,得到△MON(如圖所示),若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、M、O三點(diǎn).
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)如果把這個(gè)二次函數(shù)圖象向右平移2個(gè)單位,得到新的二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為C,求tan∠ACO的值;
(3)在(2)的條件下,設(shè)新的二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為D,點(diǎn)E在這條對(duì)稱精英家教網(wǎng)軸上,如果△BCO與以點(diǎn)B、D、E所組成的三角形相似(相似比不為1),求點(diǎn)E的坐標(biāo).
分析:(1)本題需先得出M點(diǎn)的坐標(biāo),再設(shè)出二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c,把A、M、O三點(diǎn)代入即可求出解析式.
(2)本題先得出圖象向右平移2個(gè)單位的解析式,從而得出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),再連接AN,即可求出tan∠ACO的值.
(3)本題需先分根據(jù)(2)的解析式得出對(duì)稱軸為直線x=2,得出D點(diǎn)的坐標(biāo),再設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo),這時(shí)再分兩種情況進(jìn)行討論,當(dāng)點(diǎn)E在x軸的上方時(shí),得出
BD
DE
=
OC
BO
,即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo),當(dāng)點(diǎn)E在x軸的下方時(shí),同理可得出點(diǎn)E的坐標(biāo).
解答:解:(1)由旋轉(zhuǎn)可知:點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,1),
設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c
∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、M、O三點(diǎn),點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,1),
1=a-b+c
1=a+b+c
0=c.

a=1
b=0
c=0.

∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=x2

(2)將這個(gè)二次函數(shù)圖象向右平移2個(gè)單位,
得到新的二次函數(shù)的解析式為y=(x-2)2
∴二次函數(shù)y=(x-2)2的圖象與y軸的交點(diǎn)為C為(0,4),
由旋轉(zhuǎn)可知:點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0,1),連接AN.
在Rt△ANC中,AN=1,CN=3,
tan∠ACO=
AN
CN
=
1
3


(3)由(2)得:新的二次函數(shù)y=(x-2)2圖象的對(duì)稱軸為直線x=2.
根據(jù)題意:得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0),
可設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(2,x),∠BOC=∠BDE=90°.
如果△BCO與以點(diǎn)B、D、E所組成的三角形相似:
①當(dāng)點(diǎn)E在x軸的上方時(shí),
如果
BD
DE
=
BO
OC
,又BD=BO=1,容易知道△BCO與△BDE全等(舍去),
如果
BD
DE
=
OC
BO
,又BD=1,BO=1,OC=4,DE=x,
1
x
=
4
1
,
x=
1
4

所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,
1
4
).
②當(dāng)點(diǎn)E在x軸的下方時(shí),
同理:可得到E的坐標(biāo)為(2,-
1
4
).
所以:當(dāng)△BCO與以點(diǎn)B、D、E所組成的三角形相似(相似比不為1)時(shí),
點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,
1
4
)或(2,-
1
4
).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次函數(shù)綜合題,其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和解析式的求法.在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果.
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28、在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P到x軸的距離為8,到y(tǒng)軸的距離為6,且點(diǎn)P在第二象限,則點(diǎn)P坐標(biāo)為
(-6,8)

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-7

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在平面直角坐標(biāo)系中,有A(2,3)、B(3,2)兩點(diǎn).
(1)請(qǐng)?jiān)偬砑右稽c(diǎn)C,求出圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式.
(2)反思第(1)小問(wèn),考慮有沒(méi)有更簡(jiǎn)捷的解題策略?請(qǐng)說(shuō)出你的理由.

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,開口向下的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),D是拋物線的頂點(diǎn),O為精英家教網(wǎng)坐標(biāo)原點(diǎn).A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是方程x2-4x-12=0的兩根,且cos∠DAB=
2
2

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)作AC⊥AD,AC交拋物線于點(diǎn)C,求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)解析式;
(3)在(2)的條件下,在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使△APC的面積最大?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△APC的最大面積;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

18、在平面直角坐標(biāo)系中,把一個(gè)圖形先繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為θ,再以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k得到一個(gè)新的圖形,我們把這個(gè)過(guò)程記為【θ,k】變換.例如,把圖中的△ABC先繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為90°,再以原點(diǎn)為位似中心,相似比為2得到一個(gè)新的圖形△A1B1C1,可以把這個(gè)過(guò)程記為【90°,2】變換.
(1)在圖中畫出所有符合要求的△A1B1C1;
(2)若△OMN的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0)、M(2,4)、N(6,2),把△OMN經(jīng)過(guò)【θ,k】變換后得到△O′M′N′,若點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(-1,-2),則θ=
0°(或360°的整數(shù)倍)
,k=
2

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