Question

（2013•陜西）如圖，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=30°，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與⊙O交于G、H兩點(diǎn)．若⊙O的半徑為7，則GE+FH的最大值為

10.5

．

Answer 1

分析：由點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得出EF=

1

2

AB=3.5為定值，則GE+FH=GH-EF=GH-3.5，所以當(dāng)GH取最大值時(shí)，GE+FH有最大值．而直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，故當(dāng)GH為⊙O的直徑時(shí)，GE+FH有最大值14-3.5=10.5．

解答：解：當(dāng)GH為⊙O的直徑時(shí)，GE+FH有最大值．
當(dāng)GH為直徑時(shí)，E點(diǎn)與O點(diǎn)重合，
∴AC也是直徑，AC=14．
∵∠ABC是直徑上的圓周角，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=30°，
∴AB=

1

2

AC=7．
∵點(diǎn)E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，
∴EF=

1

2

AB=3.5，
∴GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5．
故答案為10.5．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合動(dòng)點(diǎn)考查了圓周角定理，三角形中位線定理，有一定難度．確定GH的位置是解題的關(guān)鍵．