Question

如圖：AD為△ABC的高，∠B=2∠C，DC=3BD，若AD=3，求AC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：含30度角的直角三角形,等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：在DC上截取DE=BD，連接AE，求出AB=AE，求出∠B=∠AEB，根據(jù)∠B=2∠C和∠AEB=∠C+∠EAC求出∠EAC=∠C，推出AE=CE=2DE=2BD=BE，設(shè)DE=a，則AE=CE=BE=2a，在Rt△ADE中，由勾股定理得出AD²+DE²=AE²，求出a=

3

，得出DE=

3

，CD=3

3

，在Rt△ADC中，由勾股定理求出AC即可．

解答：解：
在DC上截取DE=BD，連接AE，
∵CD=3BD，
∴CE=2BD=2DE，
∵BD=DE，AD⊥BE，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=2∠C，
∵∠AEB=∠C+∠EAC，
∴∠EAC=∠C，
∴AE=CE=2DE=2BD=BE，
設(shè)DE=a，則AE=CE=BE=2a，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD²+DE²=AE²，
∴3²+a²=（2a）²，
a=

3

，
∴DE=

3

，CD=3

3

，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC=

32+(3 3 )2

=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，線段的垂直平分線，勾股定理，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．