(本小題10分)如圖,四邊形ABCD是正方形,△ABE是等邊三角形,M為對(duì)角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn),將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN、AM、CM.

(Ⅰ) 求證:△AMB≌△ENB;

(Ⅱ) ①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AM+CM的值最;

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí),AM+BM+CM的值最小,并說明理由;

(Ⅲ) 當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí),求正方形的邊長.

 

 

【答案】

解:⑴∵△ABE是等邊三角形,

∴BA=BE,∠ABE=60°.

∵∠MBN=60°,

∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.

即∠ABM=∠NBE.

又∵M(jìn)B=NB,

∴△AMB≌△ENB(SAS). ………………3分

⑵①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí),AM+CM的值最小. ………………5分

②如圖,連接CE,當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),

AM+BM+CM的值最小.                          ………………7分

理由如下:連接MN.由⑴知,△AMB≌△ENB,

∴AM=EN.

∵∠MBN=60°,MB=NB,

∴△BMN是等邊三角形.

∴BM=MN.

∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”,得EN+MN+CM=EC最短

∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí),AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長. …………8分

⑶過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長線于F,

∴∠EBF=90°-60°=30°.

設(shè)正方形的邊長為x,則BF=x,EF=.

在Rt△EFC中,

∵EF2+FC2=EC2

∴(2+(x+x)2.

解得,x=(舍去負(fù)值).

∴正方形的邊長為.                           ………………10分          

【解析】略

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(11·湖州)(本小題10分)

如圖,已知E、F分別是□ABCD的邊BC、AD上的點(diǎn),且BE=DF。

⑴求證:四邊形AECF是平行四邊形;

⑵若BC=10,∠BAC=90°,且四邊形AECF是菱形,求BE的長。

 

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1.(1)求該拋物線的解析式;

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1.(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

2. (2) 求出此拋物線的的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

3.(3)求出此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)C的坐標(biāo);

4.(4)在直線BC上是否存在一點(diǎn)P,使四邊形PDCO為梯形?若存在,求出P點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,說明理由.

 

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(1)求此二次函數(shù)的解析式.

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(3)連結(jié)BM,動(dòng)點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn)B,M),過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為H,設(shè)OH的長度為t,四邊形PCOH的面積為S.請(qǐng)?zhí)骄浚核倪呅蜳COH的面積S有無最大值?如果有,請(qǐng)求出這個(gè)最大值;如果沒有,請(qǐng)說明理由.

 

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