Question

6．如圖，直線l₁的解析式為y=-2x+3，且l₁與x軸交于點D，直線l₂經過點A（4，0）、B（3，-1），直線l₁、l₂交于點C．
（1）點D的坐標：（$\frac{3}{2}$，0）；（直接寫出結果）
（2）△ADC的面積為：$\frac{25}{12}$；（直接寫出結果）
（3）試問在y軸上是否存在一點P，使得△PAC的周長最��？若存在，求出點P的坐標和最小周長；若不存在，請說明理由．
（4）試問：在直線l₁上是否存在一點Q，使得△BCD的面積等于△ACQ的面積$\frac{1}{5}$？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由l₁的解析式y(tǒng)=-2x+3可求得D點坐標；
（2）由A、B兩點坐標可求得直線AB的解析式，聯(lián)立兩直線解析式可求得C點坐標，則可求得△ADC的面積；
（3）可找A點關于y軸的對稱點為A′，連接A′C交y軸于點P，則P點即為滿足條件的點，再利用勾股定理可求得△PAC的周長；
（4）可先求得△BCD的面積，可得出△ACQ的面積，可設出Q點的坐標，當點Q在點C下方時，則有S_△ACQ=S_△ADQ-S_△ACD，當點Q在點D的上方時，則有S_△ACQ=S_△ADQ+S_△ACD，可得到點Q坐標的方程，可求得Q點的坐標．

解答 解：
（1）在y=-2x+3中，令y=0可得-2x+3=0，
解得x=$\frac{3}{2}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，0），
故答案為：（$\frac{3}{2}$，0）；
（2）設直線l₂的解析式為y=kx+b，
把A、B兩點坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{3k+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直線l₂的解析式為y=x-4，
聯(lián)立兩直線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+3}\\{y=x-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{3}}\\{y=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{7}{3}$，-$\frac{5}{3}$），
∵A（4，0），D（$\frac{3}{2}$，0），
∴AD=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{5}{3}$=$\frac{25}{12}$，
故答案為：$\frac{25}{12}$；
（3）設A點關于y軸的對稱點為A′，如圖1，連接A′C交y軸于點P，

則PA′=PA，
∴PA+PC=PA′+PC，此時A′、P、C三點在一條直線上，
∴PA+PC最小，
∵A（4，0），
∴A′（-4，0），
設直線A′C的解析式為y=mx+n，
把A′、C的坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=0}\\{\frac{7}{3}m+n=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5}{19}}\\{n=-\frac{20}{19}}\end{array}\right.$，
∴直線A′C的解析式為y=-$\frac{5}{19}$x-$\frac{20}{19}$，
∴P點坐標為（0，-$\frac{20}{19}$），
此時A′C=$\sqrt{（\frac{7}{3}+4）^{2}+（\frac{5}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{386}}{3}$，AC=$\sqrt{（\frac{7}{3}-4）^{2}+（\frac{5}{3}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，
∴PA+PC+AC=A′C+AC=$\frac{\sqrt{386}+5\sqrt{2}}{3}$，即△PAC的周長的最小值為$\frac{\sqrt{386}+5\sqrt{2}}{3}$；
（4）由（2）可知AD=$\frac{5}{2}$，且B（3，-1），
∴S_△ADB=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×1=$\frac{5}{4}$，
∴S_△BCD=S_△ACD-S_△ABD=$\frac{25}{12}$-$\frac{5}{4}$=$\frac{5}{6}$，
∵△BCD的面積等于△ACQ的面積$\frac{1}{5}$，
∴S_△ACQ=$\frac{25}{6}$，
設Q點坐標為（t，-2t+3），
當點Q在點C下方時，如圖2，

則S_△ACQ=S_△ADQ-S_△ACD，
∴$\frac{25}{6}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×（2t-3）-$\frac{25}{12}$，解得t=4，此時Q點坐標為（4，-5）；
當點Q在點D的上方時，如圖3，

則有S_△ACQ=S_△ADQ+S_△ACD，
∴$\frac{25}{6}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×（-2t+3）+$\frac{25}{12}$，解得t=$\frac{2}{3}$，此時Q點的坐標為（$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{3}$）；
綜上可知存在滿足條件的點Q，其坐標為（4，-5）或（$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{3}$）．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及待定系數法、三角形的面積、函數圖象的交點、軸對稱的性質、方程思想及分類討論思想等知識．在（2）中求得C點坐標是解題的關鍵，在（3）中確定出點P的位置是解題的關鍵，在（4）中用Q的坐標表示出△ACQ的面積是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，計算量較大．