Question

（2012•云南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

1

3

x+2交x軸于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)A．拋物線y=-

1

2

x²+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)E（-1，0），并與直線相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式（關(guān)系式）；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）除點(diǎn)C外，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)M，使得△MAB是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）利用相似三角形（Rt△OCA∽R(shí)t△OPA）比例線段之間的關(guān)系，求出線段OC的長(zhǎng)度，從而得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，如題圖所示；
（3）存在所求的M點(diǎn)，在x軸上有3個(gè)，y軸上有2個(gè)，注意不要遺漏．求點(diǎn)M坐標(biāo)的過(guò)程并不復(fù)雜，但要充分利用相似三角形比例線段之間的關(guān)系．

解答：解：（1）直線解析式為y=-

1

3

x+2，令x=0，則y=2，
∴A（0，2），
∵拋物線y=-

1

2

x²+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)A（0，2），E（-1，0），
∴

2=c 0=- 1 2 -b+c

，
解得

b= 3 2 c=2

．
∴拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（2）∵直線y=-

1

3

x+2分別交x軸、y軸于點(diǎn)P、點(diǎn)A，
∴P（6，0），A（0，2），
∴OP=6，OA=2．
∵AC⊥AB，OA⊥OP，
∴Rt△OCA∽R(shí)t△OPA，∴

OC

OA

=

OA

OP

，
∴OC=

OA2

OP

=

22

6

=

2

3

，
又C點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（-

2

3

，0）．

（3）拋物線y=-

1

2

x²+

3

2

x+2與直線y=-

1

3

x+2交于A、B兩點(diǎn)，
令-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

3

x+2，
解得x₁=0，x₂=

11

3

，
∴B（

11

3

，

7

9

）．
如答圖①所示，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，
則D（

11

3

，0），BD=

7

9

，DP=6-

11

3

=

7

3

．
點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，且△MAB是直角三角形，有以下幾種情況：
①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上，且BM⊥AB，如答圖①所示．
設(shè)M（m，0），則MD=

11

3

-m．
∵BM⊥AB，BD⊥x軸，∴

MD

BD

=

BD

DP

，
即

11 3 -m

7 9

=

7 9

7 3

，
解得m=

92

27

，
∴此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（

92

27

，0）；
②當(dāng)點(diǎn)M在x軸上，且BM⊥AM，如答圖①所示．
設(shè)M（m，0），則MD=

11

3

-m．
∵BM⊥AM，易知Rt△AOM∽R(shí)t△MDB，
∴

OM

BD

=

OA

MD

，即

m

7 9

=

2

11 3 -m

，
化簡(jiǎn)得：m²-

11

3

m+

14

9

=0，
解得：m₁=

11+ 65

6

，m₂=

11- 65

6

，
∴此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（

11+ 65

6

，0），（

11- 65

6

，0）；
（說(shuō)明：此時(shí)的M點(diǎn)相當(dāng)于以AB為直徑的圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)）
③當(dāng)點(diǎn)M在y軸上，且BM⊥AM，如答圖②所示．
此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

7

9

）；
④當(dāng)點(diǎn)M在y軸上，且BM′⊥AB，如答圖②所示．
設(shè)M′（0，m），則AM=2-

7

9

=

11

9

，BM=

11

3

，MM′=

7

9

-m．
易知Rt△ABM∽R(shí)t△BM′M，
∴

AM

BM

=

BM

MM′

，即

11 9

11 3

=

11 3

7 9 -m

，
解得m=-

92

9

，
∴此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

92

9

）．
綜上所述，除點(diǎn)C外，在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)M，使得△MAB是直角三角形．
符合條件的點(diǎn)M有5個(gè)，其坐標(biāo)分別為：（

92

27

，0）、（

11+ 65

6

，0）、（

11- 65

6

，0）、（0，

7

9

）或（0，-

92

9

）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)、解一元二次方程、相似三角形的判定與性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)．難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)，所求的M點(diǎn)有5個(gè)（x軸上有3個(gè)，y軸上有2個(gè)），需要分情況討論，不要遺漏．