Question

如圖，以O(shè)A₁=2為底邊做等腰三角形，使得第三個(gè)頂點(diǎn)C₁恰好在直線(xiàn)y=x+2上，并以此向左、右依此類(lèi)推，作一系列底邊為2，第三個(gè)頂點(diǎn)在直線(xiàn)y=x+2上的等腰三角形．
（1）底邊為2，頂點(diǎn)在直線(xiàn)y=x+2上且面積為21的等腰三角形位于圖中什么位置？
（2）求證：y軸右側(cè)的每一個(gè)等腰三角形的面積都等于前后兩個(gè)以腰為一邊的三角形面積之和的一半（如：S_右1=，S_右2=）．
（3）過(guò)D₁、A₁、C₂三點(diǎn)畫(huà)拋物線(xiàn)．問(wèn)在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得△PD₁C₂的面積是△C₁OD₁與△C₁A₁C₂面積和的？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)等腰三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+2）．先根據(jù)三角形的面積為21，得出關(guān)于x的方程，再解方程求出x的值，進(jìn)而可求解；
（2）分別求出y軸右側(cè)第n個(gè)等腰三角形A_n-1A_nC_n的面積與其前后兩個(gè)非等腰三角形的面積和，比較即可；
（3）先運(yùn)用待定系數(shù)法求出過(guò)D₁、A₁、C₂三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式，由（2）的結(jié)論得出△C₁OD₁與△C₁A₁C₂的面積和，再設(shè)在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P（x，y），使得△PD₁C₂的面積是△C₁OD₁與△C₁A₁C₂面積和的，然后分兩種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)P在直線(xiàn)y=x+2的下方，②點(diǎn)P在直線(xiàn)y=x+2的上方．針對(duì)這兩種情況，都可以根據(jù)△PD₁C₂的面積是△C₁OD₁與△C₁A₁C₂面積和的，列出方程，解方程即可．
解答：解：（1）設(shè)等腰三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+2）．
∵等腰三角形的底邊在x軸上，∴高為：|x+2|，
由題意，有×2×|x+2|=21，
即|x+2|=21，
解得：x=-23或x=19，
設(shè)面積為21的等腰三角形是第n個(gè)三角形，則2n-1=19，或-2n+1=-23，
解得n=10或n=12，
∴在y軸的右邊從左到右第10個(gè)或y軸的左邊從右到左第12個(gè)；

（2）∵y軸右側(cè)第n個(gè)等腰三角形A_n-1A_nC_n的底邊兩端點(diǎn)坐標(biāo)為：A_n-1（2n-2，0），A_n（2n，0），
∴面積為：×2（2n-1+2）=2n+1，
前后兩個(gè)非等腰三角形的面積和為：×2（2n-2+2+2n+2）=4n+2．
∴y軸右側(cè)的每一個(gè)等腰三角形的面積都等于前后兩個(gè)以腰為一邊的三角形面積之和的一半；

（3）∵以O(shè)A₁=2為底邊做等腰三角形，∴A₁的坐標(biāo)為：（2，0），
∵第三個(gè)頂點(diǎn)C₁恰好在直線(xiàn)y=x+2上，∴C₁的坐標(biāo)為：（1，3），則C₂的坐標(biāo)為：（3，5），
∵B₁的坐標(biāo)為：（-2，0），∴D₁的坐標(biāo)為：（-1，1）．
設(shè)過(guò)D₁，A₁，C₂三點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式為：y=ax²+bx+c，
將D₁，A₁，C₂三點(diǎn)代入，
得：，解得：，
∴過(guò)D₁，A₁，C₂三點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式為：y=x²-x-2，
由（2）知，△C₁OD₁與△C₁A₁C₂面積和等于△OA₁C₁面積的2倍，即為：2××2×3=6．
設(shè)在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P（x，y），使得△PD₁C₂的面積是△C₁OD₁與△C₁A₁C₂面積和的．
分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)y=x+2下方時(shí)：
則有×4×[x+2-（x²-x-2）]=×6，
解得：x₁=0，x₂=2．
當(dāng)x=0時(shí)，y=x²-x-2=-2．
當(dāng)x=2時(shí)，y=x²-x-2=0．
∴P₁（0，-2），P₂（2，0）；
②當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)y=x+2的上方時(shí)：
則有（x+1）[+y-5]=×6，
得：y-x-6=0，即x²-x-8=0，
x²-2x-6=0，
解得x=1±．
當(dāng)x=1+時(shí)，y=x²-x-2=7+．
當(dāng)x=1-時(shí)，y=x²-x-2=7-．
∴P₃（1+，7+），P₄（1-，7-）．
故存在符合條件的點(diǎn)P，它們的坐標(biāo)是P₁（0，-2），P₂（2，0），P₃（1+，7+），P₄（1-，7-）．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)有運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平面直角坐標(biāo)系中三角形的面積的求法以及學(xué)生由特殊到一般的歸納總結(jié)能力，難度較大，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，其中第三問(wèn)進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵，運(yùn)用坐標(biāo)表示三角形的面積是難點(diǎn)．