Question

若關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個實數(shù)根分別為x₁，x₂，則，．
解決下列問題：
已知：a，b，c均為非零實數(shù)，且a＞b＞c，關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個實數(shù)根，其中一根為2．
（1）填空：4a+2b+c______0，a______0，c______0；（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）利用閱讀材料中的結(jié)論直接寫出方程ax²+bx+c=0的另一個實數(shù)根（用含a，c的代數(shù)式表示）；
（3）若實數(shù)m使代數(shù)式am²+bm+c的值小于0，問：當x=m+5時，代數(shù)式ax²+bx+c的值是否為正數(shù)？寫出你的結(jié)論并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵4a+2b+c=0，
∴a，b，c至少有一個為正，
∵a＞b＞c，
∴a＞0，
①當a＞0，c＞0時候，則b＞0，所以4a+2b+c＞0，與4a+2b+c=0矛盾，不合題意；
②當a＞0，c＜0時候，所以4a+2b+c可能等于0，
∴a＞0，c＜0；
故答案為：=，＞，＜．

（2）由題意可知：x₁x₂=2x₂=，解得：另一根x₂=；

（3）答：當x=m+5時，代數(shù)式ax²+bx+c的值是正數(shù)．
理由如下：
設(shè)拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），則由題意可知，它經(jīng)過A，B（2，0）點．
∵a＞0，c＜0，∴拋物線y=ax²+bx+c開口向上，且＜0＜2，即點A在點B左側(cè)．
設(shè)點M的坐標為M（m，am²+bm+c），點N的坐標為N（m+5，y）．
∵代數(shù)式am²+bm+c的值小于0，∴點M在拋物線y=ax²+bx+c上，且點M的縱坐標為負數(shù)．
∴點M在x軸下方的拋物線上．（如圖）∴x_A＜x_M＜x_B，即．
∴，即．
以下判斷與x_B的大小關(guān)系：
∵4a+2b+c=0，a＞b，a＞0，
∴．
∴．∴．
∵B，N兩點都在拋物線的對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，
∴y_N＞y_B，即y＞0．
∴當x=m+5時，代數(shù)式ax²+bx+c的值是正數(shù)．
分析：（1）根據(jù)圖象可知拋物線開口向上，所以得到a大于0，又拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸得到c小于0，由方程ax²+bx+c=0有一根為2，得到拋物線與x軸的一個交點為（2，0），代入拋物線的解析式即可得到4a+2b+c=0；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之積為，而一根為2，即可求出另一根；
（3）根據(jù)第（2）表示出點A的坐標，又根據(jù)（1）中判斷出的a與c的正負，根據(jù)二次函數(shù)的圖象可判斷出A在B的左側(cè)，設(shè)出M點的坐標為（m，am²+bm+c），則點N的坐標為（m+5，y），根據(jù)二次函數(shù)圖象可知點M在x軸的下方的拋物線上，即可得到點A，點B以及點M橫坐標的大小，把關(guān)于m的不等式兩邊都加上5，即可得到N的橫坐標的范圍，然后利用做差法判斷出點N與點B橫坐標的大小，得到兩點都在對稱軸的右邊，根據(jù)對稱軸右邊拋物線的圖象為增函數(shù)，且x=2時的函數(shù)值為0，得到y(tǒng)大于0，即當x=m+5時，代數(shù)式ax²+bx+c的值為正數(shù)．
點評：此題考查學生靈活運用閱讀材料中給出的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，要求學生掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)并會根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷得出a、b及c的符號，是一道多知識的綜合題．