Question

如圖，在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB邊的中線，若將△ABC沿CD對折起來，折疊后兩個小△ACD與△BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的

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，有如下結論：①BC的邊長等于a； ②折疊前的△ABC的面積可以等于

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a2；③折疊后，以A、B為端點的線段與中線CD平行且相等，其中正確的結論是

①③

．

Answer 1

分析：設B′D與AC相交于O，根據三角形的中線把三角形分成的兩個三角形面積相等可得S_△ACD=S_△BCD=

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S_△ABC，然后根據重疊部分的面積求出點O是AC、B′D的中點，再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形ADCB′是平行四邊形，根據平行四邊形的對邊平行且相等AB′∥CD，B′C∥AD，B′C=AD，判斷出③正確；再求出四邊形BCB′D是平行四邊形，根據翻折的性質可得BC=B′C，然后求出平行四邊形BCB′D是菱形，根據菱形的四條邊都相等可得BC=BD=a，判斷出①正確；根據三角形的面積公式求出點C到AB的距離是

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a²，然后解直角三角形求出垂足為AB的中點D，從而確定出翻折后點A、B重合，不符合題意，判斷出②錯誤．

解答：解：如圖，設B′D與AC相交于O，
∵CD是AB邊的中線，
∴S_△ACD=S_△BCD=

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S_△ABC，
∵重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的

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，
∴點O是AC、B′D的中點，
∴四邊形ADCB′是平行四邊形，
∴AB′∥CD，B′C∥AD，B′C=AD，故③正確；
∴B′C∥BD，B′C=BD，
∴四邊形BCB′D是平行四邊形，
由翻折變換的性質得，BC=B′C，
∴平行四邊形BCB′D是菱形，
∴BC=BD=

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AB=

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×2a=a，故①正確；
假設折疊前的△ABC的面積可以等于

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a²，
設點C到AB的距離為h，
則

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×2ah=

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a²，
解得h=

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a，

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a÷tan30°=

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a÷

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=a，
∴垂足為AB的中點D，
∴翻折后點A、B重合，不符合題意，
∴假設不成立，故②錯誤．
綜上所述，正確的結論有①③．
故答案為：①③．

點評：本題考查了翻折變換的性質，三角形的性質，平行四邊形的判定與性質，菱形的判定與性質，銳角三角函數，根據重疊部分的面積判斷出點O是AC、B′D的中點是解題的關鍵，也是本題的難點．