Question

已知AB是半圓O的直徑，點C在BA的延長線上運動（點C與點A不重合），以O(shè)C為直徑的半圓M與半圓O交于點D，∠DCB的平分線與半圓M交于點E．

（1）求證：CD是半圓O的切線（圖1）；
（2）作EF⊥AB于點F（圖2），猜想EF與已有的哪條線段的一半相等，并加以證明；
（3）在上述條件下，過點E作CB的平行線交CD于點N，當(dāng)NA與半圓O相切時（圖3），求∠EOC的正切值．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接OD，
則OD為半圓O的半徑
∵OC為半圓M的直徑
∴∠CDO=90°
∴CD是半圓O的切線；

（2）解：猜想：EF=OA．
證明：如圖2，
連接OD、OE，延長OE交CD于點K，作EG⊥CD于點G，則EG∥OD，
∵CE平分∠DCB，
∴∠OCE=∠KCE．
∵EF⊥AB，
∴EG=EF．
∵OC是半圓M的直徑，E為半圓M上的一點，
∴∠CEO=∠CEK=90°．
∵CE為公共邊，
∴△COE≌△CKE．
∴OE=KE．
∵EG∥OD，
∴DG=GK．
∴EF=EG=OD=OA．

（3）解：如圖3，
延長OE交CD于點K，
設(shè)OF=x，EF=y，則OA=2y，
∵NE∥CB，EF⊥CB，NA切半圓O于點A，
∴四邊形AFEN是矩形，
∴NE=AF=OA-OF=2y-x，
同（2）證法一，得E是OK的中點，
∴N是CK的中點，
∴CO=2NE=2（2y-x），
∴CF=CO-OF=4y-3x，
∵EF⊥AB，CE⊥EO，
∴Rt△CEF∽Rt△EOF，
∴EF²=CF•OF，即y²=x（4y-3x），
解得或，
當(dāng)=3時，tan∠EOC===3，
當(dāng)=1時，點C與點A重合，不符合題意，故舍去，
∴tan∠EOC=3．
分析：（1）連接OD，由直徑對的圓周角是直角知∠CDO=90°，再切線的判定方法即可判定CD是半圓O的切線；
（2）連接OD、OE，延長OE交CD于點K，作EG⊥CD于點G，則根據(jù)垂直于同一直線的兩條直線平行知，EG∥OD．CE平分∠DCB，由角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等知EG=EF，由直徑對的圓周角是直角知∠CEO=∠CEK=90°，易得△COE≌△CKE，有OE=KE，即點E是OK的中點，所以EG是△ODK的OD邊對的中位線，則EG是OD的長的一半，從而得證題設(shè)；
（3）、如圖，延長OE交CD于點K，設(shè)OF=x，EF=y，由2中知，OA=OK=2OE=2y，易得四邊形AFEN是矩形，有NE=AF=OA-OF=2y-x．由于NE∥OC，點E是OK的中點，則EN是△OCK的OC對的中位線，有N是CK的中點．所以CO=2NE=2（2y-x），進(jìn)一步得到CF=CO-OF=4y-3x，由Rt△CEF∽Rt△EOF則有EF²=CF•OF，由此得到關(guān)于x，y的方程，變形即可求出或進(jìn)而確定tan∠EOC的值．
點評：本題利用了圓周角定理，直徑對的圓周角定理是直角，角的平分線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，正切的定義求解，利用的知識比較多，難度比較大．