Question

如圖，在⊙O上位于直徑AB的異側(cè)有定點C和動點P，AC=AB，點P在半圓弧AB上運動（不與A、B兩點重合），過點C作直線PB的垂線CD交PB于D點．

（1）如圖1，求證：△PCD∽△ABC；

（2）當(dāng)點P運動到什么位置時，△PCD≌△ABC？請在圖2中畫出△PCD并說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)點P運動到CP⊥AB時，求∠BCD的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵PD⊥CD，

∴∠D=90°，

∴∠D=∠ACB，

∵∠A與∠P是對的圓周角，

∴∠A=∠P，

∴△PCD∽△ABC；

（2）解：當(dāng)PC是⊙O的直徑時，△PCD≌△ABC，

理由：∵AB，PC是⊙O的半徑，

∴AB=PC，

∵△PCD∽△ABC，

∴△PCD≌△ABC；

（3）解：∵∠ACB=90°，AC=AB，

∴∠ABC=30°，

∵△PCD∽△ABC，

∴∠PCD=∠ABC=30°，

∵CP⊥AB，AB是⊙O的直徑，

∴=，

∴∠ACP=∠ABC=30°，

∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°．