Question

如圖，在坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=-x的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于A、B兩點．
①試根據(jù)圖象求k的值；
②P為y軸上一點，若以點A、B、P為頂點的三角形是直角三角形，試直接寫出滿足條件的點P所有可能的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：計算題

分析：①利用點A在直線y=-x上確定A點坐標(biāo)，然后把A點坐標(biāo)代入y=

k

x

即可求出k的值；
②設(shè)P（0，t），而B點坐標(biāo)為（1，-1），分類討論：當(dāng)∠PAB=90°，則PA²+AB²=PB²；當(dāng)∠PBA=90°，則PB²+AB²=PA²；當(dāng)∠APB=90°，則PA²+PB²=AB²，然后利用兩點間的距離公式列出關(guān)于t的3個方程，再解方程求出t即可得到P點坐標(biāo)．

解答：解：①把x=-1代入y=-x得y=1，
∴A的坐標(biāo)是（-1，1），
把A（-1，1）代入y=

k

x

得k=-1×1=-1；
②∵點A與點B關(guān)于原點中心對稱，
∴B點坐標(biāo)為（1，-1），
∴AB=2

2

，
設(shè)P點坐標(biāo)為（0，t），
當(dāng)∠PAB=90°，則PA²+AB²=PB²，即1²+（t-1）²+（2

2

）²=1²+（t+1）²，解得t=2；
當(dāng)∠PBA=90°，則PB²+AB²=PA²，即1²+（t+1）²+（2

2

）²=1²+（t-1）²，解得t=-2；
當(dāng)∠APB=90°，則PA²+PB²=AB²，即1²+（t-1）²+1²+（t+1）²=（2

2

）²，解得t=±

2

∴點P的所有可能的坐標(biāo)是（0，

2

），（0，-

2

），（0，2），（0，-2）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式．也考查了分類討論的思想和兩點間的距離公式．