Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線BD分別交x軸、y軸于B、D兩點(diǎn)，A、C是過(guò)D點(diǎn)的直線上兩點(diǎn)，連接OA、OC、BD，∠CBO=∠COB，且OD平分∠AOC．
（1）請(qǐng)判斷AO與CB的位置關(guān)系，并予以證明；

（2）沿OA、AC、BC放置三面鏡子，從O點(diǎn)發(fā)出的一條光線沿x軸負(fù)方向射出，經(jīng)AC、CB、OA反射后，恰好由O點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射出，若AC⊥BD，求∠ODB；

（3）在（2）的條件下，沿垂直于DB的方向放置一面鏡子l，從射線OA上任意一點(diǎn)P放出的光線經(jīng)B點(diǎn)反射，反射光線與射線OC交于Q點(diǎn)，OQ交BP于M點(diǎn)，給出兩個(gè)結(jié)論：①∠OMB的度數(shù)不變；②∠OPB+∠OQB的度數(shù)不變．可以證明，其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你作出正確的判斷并求值．

Answer 1

解：
（1）平行．
證明：設(shè)∠AOD=∠COD=x，
∠BOC=∠OBC=y，
則∠BOD=x+y=90°，
故2x+2y=180°，
即∠AOB+∠OBC=180°，
得AO∥CB．

（2）如圖所示，作垂線GE⊥CB、FO⊥AO．
∵AO∥CB，
∴FO⊥BC；
∴GE∥OF（垂直于同一條直線的兩條直線平行），
∴∠GEO=∠FOE；
∵GE、OF為法線，
∴∠DEG=∠GEO，∠EOF=∠BOF，
∴∠DEO=∠EOB，
∴DE∥OB
∴∠EDB=∠DBO，
∵BD為法線，
∴∠EDB=∠BDO，
∴∠BDO=∠DBO，
∴∠BDO=45°．

（3）選②，∠OPB+∠OQB=90°，
證明：設(shè)∠AOD=∠DOQ=x，
∠PBD=∠QBD=y，
在△PNO和△DNB中∠OPB+x=45°+y，
在△QHB和△DHO中∠OQB+y=45°+x，
兩式相加得∠OPB+∠OQB=90°．
分析：（1）AO與CB平行，只要證明∠AOB+∠OBC=180°即可；
（2）作垂線GE⊥CB、FO⊥AO，由GE、OF為法線，∠DEG=∠GEO，∠EOF=∠BOF，再由平行線的性質(zhì)即可求解；
（3）設(shè)∠AOD=∠DOQ=x，∠PBD=∠QBD=y，
在△PNO和△QNB中∠OPB+x=45°+y，
在△QHB和△DHO中∠OQB+y=45°+x，
兩式相加得∠OPB+∠OQB=90°．
點(diǎn)評(píng)：本題主要證明了平行線的證明方法，可以證明兩直線被第三條直線所截得到的內(nèi)錯(cuò)角相等．并且本題考查了平行線的性質(zhì)．