Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC邊于點(diǎn)D．
（1）以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過(guò)A、D兩點(diǎn)作⊙O（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），再判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若（1）中的⊙O與AB的另一交點(diǎn)為E，AB=9，BD=，則扇形ODE的面積是______．（結(jié)果保留π）．

Answer 1

解：（1）如圖所示；
BC是⊙O的切線，
理由：連接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴OD⊥BC于D，
∴BC是⊙O的切線．

（2）設(shè)OD=x，則OB=AB-AO=9-x，
∵OD⊥BC，
∴DO²+DB²=BO²，
∴x²+（3）²=（9-x） ²，
解得：x=3，
故BO=6，
∵cos∠DOB===，
∴∠DOB=60°，
∴扇形ODE的面積是：S==π．
故答案為：π．
分析：（1）作出AD的垂直平分線FM，交AB于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心AO長(zhǎng)為半徑作圓得出即可，再利用切線的判定證明OD⊥BC即可；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論利用勾股定理得出DO的長(zhǎng)，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠BOD的度數(shù)，利用扇形面積公式求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)和扇形面積求法和切線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出OD∥AC是解題關(guān)鍵．