Question

18．如圖，AC是平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，多點(diǎn)D作DN⊥AC于點(diǎn)N，分別連接BN與DM，求證：BN=DM．

Answer 1

分析 由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD=BC，AD∥BC，又由BM⊥AC，DN⊥AC，即可得BM∥DN，∠DNA=∠BMC=90°，然后利用AAS證得△ADN≌△CBM，即可得DN=BM，由有一組對(duì)邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，證得四邊形BMDN是平行四邊形，即可得出結(jié)論．

解答 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴∠AND=∠BMC=90°，BM∥DN，
∵在△ADN和△CBM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AND=∠BMC}&{\;}\\{∠DAN=∠BCM}&{\;}\\{AD=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△CBM（AAS），
∴DN=BM，
∴四邊形BMDN是平行四邊形，
∴BN=DM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．