Question

某校九年級(jí)（1）班數(shù)學(xué)興趣小組在社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，進(jìn)行了如下的課題研究：用一定長(zhǎng)度的鋁合金材料，將它設(shè)計(jì)成外觀為長(zhǎng)方形的三種框架，為了使設(shè)計(jì)出的長(zhǎng)方形框架面積最大．小組討論后，同學(xué)們做了以下三種試驗(yàn)：

請(qǐng)根據(jù)以上圖案回答下列問(wèn)題：
（1）在圖案（1）中，如果鋁合金材料總長(zhǎng)度（圖中所有黑線的長(zhǎng)度和）為6米，當(dāng)豎檔AB長(zhǎng)為1米，求長(zhǎng)方形框架ABCD的面積；
（2）在圖案（2）中，如果鋁合金材料總長(zhǎng)度為6米，設(shè)豎檔AB為x米，求長(zhǎng)方形框架ABCD的面積S（用含x的代數(shù)式表示），并指出當(dāng)AB為多少米時(shí)，長(zhǎng)方形框架ABCD的面積S最大；
（3）在圖案（3）中，如果鋁合金材料總長(zhǎng)度為a米，設(shè)豎檔AB為x米，求當(dāng)AB為多少米時(shí)，長(zhǎng)方形框架ABCD的面積S最大．
（4）探索：如圖（4），如果鋁合金材料總長(zhǎng)度為a米，AD邊上共有n條豎檔時(shí)，請(qǐng)直接寫出當(dāng)豎檔AB長(zhǎng)為多少米時(shí)，長(zhǎng)方形框架ABCD的面積最大，最大值為多少．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）求出AD的長(zhǎng)度，即可得出長(zhǎng)方形框架ABCD的面積；
（2）先用x表示出AD，繼而得出S的表達(dá)式，利用配方法可求出S的最大值；同理圖案（3）的最大面積也可求解；
（4）利用以上結(jié)果得出規(guī)律：當(dāng)AB的長(zhǎng)度是總長(zhǎng)度除以豎檔條數(shù)的2倍，面積最大是總長(zhǎng)度的平方除以豎檔條數(shù)的12倍；由此直接寫出結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)AB=1m時(shí)，AD=

6-2

3

=

4

3

m，
S_{長(zhǎng)方形框架ABCD}=AB×AD=

4

3

m²；
（2）圖（2）中，設(shè)AB為x米，則AD=

6-3x

3

=2-x，
S_{長(zhǎng)方形框架ABCD}=AB×AD=-x²+2x=-（x-1）²+1，
當(dāng)x=1時(shí)，S取得最大值；
即當(dāng)AB=1米，長(zhǎng)方形框架ABCD的面積S最大．
（3）圖（3）中，設(shè)AB為x米，則AD=

a-4x

3

，
S_{長(zhǎng)方形框架ABCD}=AB×AD=-

4

3

x²+

a

3

x=-

4

3

（x-

a

8

）²+

1

48

a²，
當(dāng)x=

a

8

，長(zhǎng)方形框架ABCD的面積S最大．
（4）圖（4）中，當(dāng)豎檔AB長(zhǎng)為

a

2n

米時(shí)，長(zhǎng)方形框架ABCD的面積最大，最大值為

1

12n

a²m²．

點(diǎn)評(píng)：從簡(jiǎn)單問(wèn)題情形出發(fā)，找出解決問(wèn)題的一般規(guī)律，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律把問(wèn)題推廣．