Question

拋物線P：y=ax²+b （a＜0、b＞0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（A在B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．將拋物線P關(guān)于x軸作軸對(duì)稱變換，再將變換后的拋物線向右平移m個(gè)單位（m＞0），得到新拋物線P₁，其頂點(diǎn)為D，與x軸相交于E、F兩點(diǎn)（F在E左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)G．

（1）當(dāng)a=-1，b=2，①拋物線P₁過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直接寫出拋物線P₁解析式；②點(diǎn)D在拋物線P上時(shí)，直接寫出拋物線P₁的解析式；
（2）如圖2，當(dāng)拋物線P₁過(guò)點(diǎn)B時(shí)，若四邊形ADEC為矩形時(shí)，請(qǐng)求出a和b應(yīng)滿足的關(guān)系式；
（3）當(dāng)a=-1，b=2時(shí)，若△OFG和△OGE相似，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵a=-1，b=2，
∴拋物線P：y=-x²+2，
∵拋物線P關(guān)于x軸對(duì)稱，再向右平移m個(gè)單位得到拋物線P₁，
∴拋物線P₁的解析式為y=（x-m）²-2，
①拋物線P₁過(guò)原點(diǎn)，則（0-m）²-2=0，
解得m=，
所以，拋物線P₁解析式為y=（x-）²-2；
②∵拋物線P₁的頂點(diǎn)D（m，-2）在拋物線P上，
∴-m²+2=-2，
解得m=2，
∴拋物線P₁解析式為y=（x-2）²-2；

（2）令y=0，則ax²+b=0，
解得x=，
令x=0，則y=b，
∴點(diǎn)B（，0），C（0，b），
∴OB=，OC=b，
在Rt△BOC中，BC==，
根據(jù)對(duì)稱性可得AB=BE，CB=BD，且C、B、D在同一直線上，
∴四邊形ADEC為平行四邊形，
要使四邊形ADEC為矩形，則AE=CD，
即4×=2×，
整理得，-=-+b²，
所以，ab=-3；

（3））∵a=-1，b=2，
∴拋物線P：y=-x²+2，
令y=0，則-x²+2=0，
解得x=±，
∴點(diǎn)A（-，0）點(diǎn)B（，0），
∵拋物線P關(guān)于x軸對(duì)稱，再向右平移m個(gè)單位得到拋物線P₁，
∴拋物線P₁的解析式為y=（x-m）²-2，
點(diǎn)E（+m，0），點(diǎn)F（-+m），
令x=0，則y=（0-m）²-2=m²-2，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，m²-2），
∴OE=+m，OF=|-+m|，OG=|m²-2|，
∵△OFG和△OGE相似，
∴=，
∴OG²=OE•OF，
∴（m²-2）²=（+m）•|-+m|=|m²-2|，
整理得，m²-2=1或m²-2=-1，
解得m=或m=1．
分析：（1）把a(bǔ)、b的值代入得到拋物線P的解析式，寫出關(guān)于x軸對(duì)稱并向右平移m個(gè)單位的拋物線解析式，①把原點(diǎn)坐標(biāo)代入進(jìn)行計(jì)算即可求出拋物線P₁解析式；
②把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入拋物線P的解析式求出m的值，從而得解；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，從而得到OB、OC的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)拋物線的對(duì)稱性以及矩形的對(duì)角線互相平分且相等列式整理即可得到ab的關(guān)系；
（3）根據(jù)用m表示的拋物線P₁解析式求出OG的長(zhǎng)度，再根據(jù)平移表示出OE、OF的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到m的值．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)，主要利用了關(guān)于x軸對(duì)稱以及平移變換的拋物線的解析式的寫法，矩形的對(duì)角線互相平分且相等，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，能夠?qū)懗鲫P(guān)于x軸對(duì)稱并平移后的拋物線P₁的解析式是解題的關(guān)鍵．