Question

如圖，△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們相交于H，且AE=BE．
（1）求∠C的度數(shù)．
（2）求證：AH=2BD．

Answer 1

（1）解：∵AE=BE，BE⊥AC，
∴∠BAE=45°，
又∵AB=AC，
∴∠C=（180°-∠BAE）
=（180°-45°）
=67.5°；

（2）證明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2BD，∠1+∠C=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠2+∠C=90°，
∴∠1=∠2，
在△AEH和△BEC中，
，
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH=BC，
∴AH=2BD．
分析：（1）由等腰直角三角形ABE的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理求知∠BAE=45°；又由等腰直角三角形ABC和三角形的內(nèi)角和求得∠C=（180°-∠BAE）；
（2）由等腰三角形的底邊上的垂線與中線重合的性質(zhì)求得BC=2BD，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余的特性求知∠1+∠C=90°；又由已知條件AE⊥AC知∠2+∠C=90°，所以根據(jù)等量代換求得∠1=∠2；然后由三角形全等的判定定理SAS證明△AEH≌△BEC，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等及等量代換求得AH=2BD．
點評：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．解本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形底邊的高線，中線，角平分線三線合一的性質(zhì)．