Question

【題目】已知點(diǎn)O是AB上的一點(diǎn)，∠COE＝90°，OF平分∠AOE．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C，E，F在直線AB的同一側(cè)時(shí)，若∠AOC＝40°，求∠BOE和∠COF的度數(shù)；

（2）在（1）的條件下，∠BOE和∠COF有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必說明理由；

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C，E，F分別在直線AB的兩側(cè)時(shí)，若∠AOC＝β，那么（2）中∠BOE和∠COF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)寫出結(jié)論，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ∠COF＝25°, ∠BOE＝50°；(2) ∠BOE＝2∠COF;(3) ∠BOE＝2∠COF,理由見解析

【解析】

（1）求出∠BOE和∠COF的度數(shù)即可判斷；

（2）由（1）即可求解；

（3）結(jié)論：∠BOE＝2∠COF．根據(jù)角的和差定義即可解決問題．

解：（1）∵∠COE＝90°，∠AOC＝40°，

∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣40°﹣90°＝50°，

∠AOE＝∠AOC+∠COE＝40°+90°＝130°，

∵OF平分∠AOE，

∴∠EOF＝∠AOE＝×130°＝65°，

∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝90°﹣65°＝25°；

（2）∠BOE＝2∠COF．

（3）∠BOE＝2∠COF．

理由如下：∵∠COE＝90°，∠AOC＝β，

∴∠AOE＝∠COE﹣∠AOC＝90°﹣β，

∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣（90°﹣β）＝90°+β，

∵OF平分∠AOE，

∴∠AOF＝∠AOE＝（90°﹣β）＝45°﹣β，

∴∠COF＝β+（45°﹣β）＝45°+β，

∴2∠COF＝2（45°+β）＝90°+β，

∴∠BOE＝2∠COF．