Question

已知：如圖，△ABC中，AC=BC，CD⊥AC交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)O在BC上，⊙O經(jīng)過(guò)B、D兩點(diǎn)，且與BC交于點(diǎn)E．
（1）試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明；
（2）若AC=16，

CE

CD

=

1

2

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODB=∠A，由平行線的判定定理得出OD∥AC，再根據(jù)CD⊥AC，可得出AC⊥OD，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）由

CE

CD

=

1

2

，設(shè)CE=x，CD=2x，由AC=16可用x表示出BE及OD的值，再在△ODE中利用勾股定理即可求出x的值．

解答：（1）CD為⊙O的切線（1分）
證明：連接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A，
∴∠ODB=∠A，
∴OD∥AC，
∴∠ODC=∠DCA，
∵CD⊥AC，
∴∠DCA=90°，
∴∠ODC=90°，
∴AC⊥OD，（2分）
∴CD是⊙O的切線；（3分）

（2）∵

CE

CD

=

1

2

，
∴設(shè)CE=x，CD=2x，
∵AC=16，
∴BE=BC-CE=16-x，
∵BE為⊙O的直徑，
∴OD=OE=8-

1

2

x，
∴OC=8+

1

2

x，（4分）
∵OC²-OD²=CD²，
∴（8+

1

2

x）²-（8-

1

2

x）²=4x²，
∴x=4，x=0，（舍去）
∴OD=6．（5分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．