Question

如圖，A，B分別為x軸和y軸正半軸上的點，OA，OB的長分別是方程x²-14x+48=0的兩根（OA＞OB），直線BC平分∠ABO交x軸于C點，P為BC上一動點，P點以每秒1個單位的速度從B點開始沿BC方向移動．
（1）設△APB和△OPB的面積分別為S₁，S₂，求S₁：S₂的值；
（2）求直線BC的解析式；
（3）設PA-PO=m，P點的移動時間為t．
①當0＜t≤4時，試求出m的取值范圍；
②當t＞4時，你認為m的取值范圍如何？（只要求寫出結論）

Answer 1

解：（1）x²-14x+48=0，
解得x₁=6，x₂=8，
則OA=8，OB=6 AB=10，
P是角平分線上的點，P到OB，AB的距離相等，
S₁：S₂=AB：OB=5：3；

（2）過C點作CD⊥AB交AB于點D．
∵BC平分∠ABO，
∴CD=OC，BD=OB=6，
設OC=a，則CD=a，AC=8-a，
∵AC²=CD²+AD²，
∴（8-a）²=a²+（10-6）²，
解得a=3，
∴C點坐標為（3，0），
∴設BC的解析式為y=kx+b，得，
∴k=-2，b=6，
∴BC的解析式為y=-2x+6；

（3）①∵，
∴，
當t=4時，設P點到達P₁點的位置（如圖2），作P₁Q⊥x軸于Q，則，
∵P₁C=P₁B-BC=4×1-3=，
∴，
∴CQ=1，
∴OQ=4=OA，
∴P₁O=PA，
∴當t=4時，PA-PO=0，即m=0．
當0＜t≤4時，即P處于B，P₁之間時，
在BA上截取BE=BO，連接PE，則△OPB≌△EPB，
∴PE=PO．
在△PAE中，PA-PE＜AE，而AE=4，
∴PA-PO＜4，即m＜4．
作PR⊥OA于R，則R處于線段OQ上，此時OR＜AR，
∵，，
∴PA＞PO，
∴PA-PO＞0，即m＞0．
綜上所述，當0＜t≤4時，0≤m＜4；
②當t＞4時，m＜0．
分析：（1）先求出OA和OB的長度，P是角平分線上的點，P到OB，AB的距離相等，而兩個三角形的高相等，S₁：S₂=AB：OB=5：3；
（2）過C點作CD⊥AB交AB于點D．得出OD=OC，BD=OB，再設OC=a，則OD=a，AC=8-a，利用勾股定理求出a以及點C的坐標．設BC的解析式y(tǒng)=kx+b，把已知坐標代入得出y=-2x+6；
（3）首先勾股定理求出BC．當t=4時，作P₁Q⊥x軸于Q，利用線段比求得CQ=1，OQ=OA，P₁O=PA．當0＜t≤4時，即P處于B，P₁之間時，在BA上截取BE=BO，連接PE，則△OPB≌△EPB．然后求得PA-PO＜4．作PR⊥OA于R，則R處于線段OQ上，此時OR＜AR．利用勾股定理求出PA，PO的值，可得m＞0，綜合所述可求出0≤m＜4②當t＞4時，m＜0．
點評：本題考查的是一次函數(shù)的綜合運用以及利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關系式，難度較大．