Question

已知二次函數(shù)與x軸交于A（1,0）、B（3,0）兩點(diǎn)；二次函數(shù)的頂點(diǎn)為P.
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出：b=_______，c=___________；
（2）當(dāng)∠APB=90°，求實(shí)數(shù)k的值;
（3）若直線與拋物線L₂交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，問(wèn)線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？如果不發(fā)生變化，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)度；如果發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）8，；（2）；（3）線段EF的長(zhǎng)度不變化，8.

試題分析：（1）將A（1,0）、B（3,0）代入得.
（2）確定二拋物線的對(duì)稱(chēng)軸重合，從而得到△APB為等腰直角三角形，且點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，一方面根據(jù)等腰直角三角形求得到，另一方面根據(jù)點(diǎn)P為的頂點(diǎn)得到，二者聯(lián)立求解即可.
（3）聯(lián)立直線和拋物線的解析式，求出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判斷EF是否為定值．
（1）8， .
（2）∵在二次函數(shù)中，對(duì)稱(chēng)軸為；在二次函數(shù)中，對(duì)稱(chēng)軸為，
∴點(diǎn)P也在的對(duì)稱(chēng)軸上.
∴AP=BP.
∵∠APB=90°
∴△APB為等腰直角三角形，且點(diǎn)P為直角頂點(diǎn).
∴，解得.
∵點(diǎn)P為的頂點(diǎn)，
∴.
∴，解得.
（3）判斷：線段EF的長(zhǎng)度不變化.
由題意得，
解得 ，
∴EF=.
∴線段EF的長(zhǎng)度不變化.