Question

7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=12$\sqrt{2}$cm，動點P從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒2cm的速度向終點B運動，同時，動點Q從點B出發(fā)沿BC方向以每秒$\sqrt{2}$cm的速度向終點C運動，將△PQC沿BC翻折，點P的對應點為P′，設Q點運動的時間為t秒，若四邊形QP′CP為菱形，則t的值為4．

Answer 1

分析 連接PP′交CQ于D，根據菱形的對角線互相垂直平分可得PP′⊥CQ，CD=DQ，用t表示出CD，過點P作PO⊥AC于O，可得四邊形CDPO是矩形，再判斷出△ABC是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得∠A=45°，從而得到△APO是等腰直角三角形，再用t表示出PO，然后根據矩形的對邊相等列出方程求解即可．

解答 解：解：如圖，連接PP′交CQ于D，
∵四邊形QPCP′為菱形，
∴PP′⊥CQ，CD=DQ，
∵點Q的速度是每秒1cm，
∴CD=$\frac{1}{2}$CQ=$\frac{1}{2}$（12$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t）cm，
過點P作PO⊥AC于O，
則四邊形CDPO是矩形，
∴CD=PO，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴PO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP，
∵點P的運動速度是每秒 2cm，
∴PO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2t=$\sqrt{2}$tcm，
∴$\frac{1}{2}$（12$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t）=$\sqrt{2}$t，
解得t=4，
故答案為4

點評 本題考查了翻折變換，菱形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，作輔助線構造出矩形和等腰直角三角形是解題的關鍵．