Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx（a為常數(shù)，a≠0）． （Ⅰ）當(dāng)a＜0時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值；
（Ⅱ）記函數(shù)f（x）圖象為曲線C，設(shè)點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是曲線C上不同的兩點，點M為線段AB的中點，過點M作x軸的垂線交曲線C于點N．判斷曲線C在點N處的切線是否平行于直線AB？并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）= ， 當(dāng)a＜0時，由f′（x）=0，得x1=﹣ ，x2=1，又x∈[1，2]，則有如下分類：
①當(dāng)﹣ ≥2，即﹣ ≤a＜0時，f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，
所以f（x）max=f（2）=2﹣ln2．
②當(dāng)1＜﹣ ＜2，即﹣ ＜a＜﹣ 時，f（x）在[1，﹣ ）上是增函數(shù)，在（﹣ ，2]上是減函數(shù)，
所以f（x）max=f（﹣ ）=1﹣ +ln（﹣2a）．
③當(dāng)﹣ ≤1，即a≤﹣ 時，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，
所以f（x）max=f（1）=1﹣a．
綜上，函數(shù)f（x）在[1，2]上的最大值為：
f（x）max= ；
（Ⅱ）設(shè)M（x0 ， y0），則點N的橫坐標為x0= ，
直線AB的斜率k1= = [a（x12﹣x22）+（1﹣2a）（x1﹣x2）+lnx2﹣lnx1]
=a（x1+x2）+（1﹣2a）+ ，
C在點N處的切線斜率
k2=f′（x0）=a（x1+x2）+（1﹣2a）﹣ ，
假設(shè)曲線C在點N處的切線平行于直線AB，則k1=k2 ，
即 =﹣ ，所以ln = ，
不妨設(shè)x1＜x2 ， ln =t＞1，則lnt= ，
令g（t）=lnt﹣ ，（t＞1），g′（t）= ＞0，
所以g（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，又g（1）=0，
所以g（t）＞0，即lnt= 不成立，
所以曲線C在點N處的切線不平行于直線AB．
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出f（x）的最大值即可；（Ⅱ）設(shè)出M的坐標，分別求出直線AB的斜率k1 ， C在點N處的切線斜率k2 ， 由k1=k2 ， 得到即 =﹣ ，得出矛盾．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．