如圖，在直角梯形OABC中，AB∥OC，過(guò)點(diǎn)O、點(diǎn)B的直線解析式為y=
4
3
x，OA、AB是方程x2-14x+48=0的兩個(gè)根，OB=BC，D、E分別是線段OC、OB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)O、點(diǎn)C不重合），且∠BDE=∠ABO，設(shè)CD=x，BE=y．
（1）求BC和OC的長(zhǎng)；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在x的值，使以點(diǎn)B、點(diǎn)D、點(diǎn)E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（1）解方程x2-14x+48=0，
得x1=6，x2=8．
過(guò)點(diǎn)B作BM⊥OC于點(diǎn)M，
又∵過(guò)點(diǎn)O、點(diǎn)B的直線解析式為y=
4
3
x，
∴BM：OM=4：3，
∴BM=8，OM=6，
∴BC=OB=
62+82
=10，OC=2OM=12；

（2）∵AB∥OC，∴∠ABO=∠BOC，
∵BO=BC，∴∠BOC=∠BCO，
∵∠BDE=∠ABO，∴∠BDE=∠BCO，
∵∠ODB=∠ODE+∠BDE=∠CBD+∠BCO，∴∠ODE=∠CBD，
∴△ODE∽△CBD，∴OD：CB=OE：CD，
∴（12-x）：10=（10-y）：x，
解得y=
1
10
x2-
6
5
x+10（0＜x＜12）；

（3）存在x1=2，x2=
11
3
，使以點(diǎn)B、點(diǎn)D、點(diǎn)E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形．理由如下：
∵∠BED＞∠BOC=∠BDE，∴BD＞BE，
當(dāng)△BDE為等腰三角形時(shí)，分兩種情況：
①當(dāng)DE=DB時(shí)，
∵△ODE∽△CBD，
∴OD：CB=DE：BD=1，
∴（12-x）：10=1，
解得x=2；
②當(dāng)EB=ED時(shí)，
∵△ODE∽△CBD，
∴OD：CB=OE：CD=DE：BD，
∴（12-x）：10=（10-y）：x=y：（12-x），
解得x=
11
3
．
故存在x1=2，x2=
11
3
，使以點(diǎn)B、點(diǎn)D、點(diǎn)E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如示意圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是x軸的負(fù)半軸上一點(diǎn)，以AO為直徑的⊙P經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（-8，4）．點(diǎn)E（m，n）在⊙P上，且-10＜m≤-5，n＜0，CE與x軸相交于點(diǎn)M，過(guò)C點(diǎn)作直線CN交x軸于點(diǎn)N，交⊙P于點(diǎn)F，使得△CMN是以MN為底的等腰三角形，經(jīng)過(guò)E、F兩點(diǎn)的直線與x軸相交于點(diǎn)Q．
（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m=-5時(shí)，求圖象經(jīng)過(guò)E、Q兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式；
（3）當(dāng)點(diǎn)E（m，n）在⊙P上運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想∠OQE的大小會(huì)發(fā)生怎樣的變化？請(qǐng)對(duì)你的猜想加以證明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知一次函數(shù)y=-
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2
x+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），AB⊥x軸，垂足為B，連接OA．
（1）求此一次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P為直線y=-
1
2
x+b上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，經(jīng)過(guò)P作x軸的垂線，垂足為Q．若S△POQ=
5
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S△AOB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知如圖△ABC的面積為16，AB=AC=8，D是BC上任意一點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足為E，F(xiàn)，若DF=x，DE=y，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=-2x-8分別與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（0，k）是y軸的負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，3為半徑作⊙P．
（1）連接PA，若PA=PB，試判斷⊙P與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，⊙P與直線l相切；
（3）當(dāng)k為何值時(shí)，以⊙P與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，直線l的解析式為y=-x+4，它與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，平行于直線l的直線m從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸的正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，它與x軸、y軸分別相交于M、N兩點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤4）
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）用含t的代數(shù)式表示△MON的面積S1；
（3）以MN為對(duì)角線作矩形OMPN，記△MPN和△OAB重合部分的面積為S2；
①當(dāng)2＜t≤4時(shí)，試探究S2與之間的函數(shù)關(guān)系；
②在直線m的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，S2為△OAB的面積的
5
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？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

如圖，直線y=
1
2
x+5與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上方的坐標(biāo)平面內(nèi)，若以M，N，O，B為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則N的坐標(biāo)為_(kāi)_____．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

探究與應(yīng)用：在學(xué)習(xí)幾何時(shí)，我們可以通過(guò)分離和構(gòu)造基本圖形，將幾何“模塊”化．例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本圖形，可以建立如下的“模塊”（如圖①）：
（1）請(qǐng)就圖①證明上述“模塊”的合理性．已知：∠A=∠D=∠BCE=90°，求證：△ABC∽△DCE；
（2）請(qǐng)直接利用上述“模塊”的結(jié)論解決下面兩個(gè)問(wèn)題：
①如圖②，已知點(diǎn)A（-2，1），點(diǎn)B在直線y=-2x+3上運(yùn)動(dòng)，若∠AOB=90°，求此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②如圖③，過(guò)點(diǎn)A（-2，1）作x軸與y軸的平行線，交直線y=-2x+3于點(diǎn)C、D，求點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知等腰三角形的周長(zhǎng)是20cm，設(shè)底邊長(zhǎng)為y，腰長(zhǎng)為x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍．

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