Question

已知矩形紙片ABCD中，AB=1，BC=，將該紙片疊成一個平面圖形，折痕EF不經(jīng)過A點（E、F是該矩形邊界上的點），折疊后點A落在A′處，給出以下判斷：

①當四邊形A^，CDF為矩形時，EF=；

②當EF=時，四邊形A′CDF為矩形；

③當EF=2時，四邊形BA′CD為等腰梯形；

④當四邊形BA′CD為等腰梯形時，EF=2。

  其中正確的是         （把所有正確結論序號都填在橫線上）。

Answer 1

①③④。

【考點】折疊問題，折疊對稱的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰梯形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。

【分析】根據(jù)相關知識逐一作出判斷：

①∵AB=1，BC=，

∴如圖1，當四邊形A′CDF為矩形時，CD= A′F=1，A′F⊥BC。

根據(jù)折疊的性質(zhì)A′E=AB=1。

∴根據(jù)勾股定理得EF=。判斷①正確。

②當EF=時，由①知，只要E、F分別在邊BC、AD上，且EF與BC成45⁰角即可，此時的EF與①中的EF平行即可，這時，除①的情況外，其它都不構成矩形。判斷②錯誤。

③當EF=2時，

由勾股定理知BD=2，∴此時，EF與BD重合。

由折疊對稱和矩形的性質(zhì)知，CD=AB= A′B，且CD與 A′B不平行。

④當四邊形BA′CD為等腰梯形時，由A′B=CD，∠A′BD=∠CDB=∠ABD，知點A′是點A關于BD的對稱點，即A′是點A沿BD折疊得到，所以，EF與BD重合，EF=BD=2。判斷④正確。

綜上所述，判斷正確的是①③④。