Question

【題目】已知△ABC為等邊三角形，E為射線(xiàn)BA上一點(diǎn)，D為直線(xiàn)BC上一點(diǎn)，ED＝EC．

（1）當(dāng)點(diǎn)E在AB的上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)（如圖1），求證：AE+AC＝CD；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)D在BC上時(shí)（如圖2），猜想AE、AC和CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)（如圖3），請(qǐng)直接寫(xiě)出AE、AC和CD的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）AC﹣AE＝CD，證明見(jiàn)解析；（3）AE﹣AC＝CD．

【解析】

（1）在CD上截取CF=AE，連接EF，運(yùn)用“AAS”證明△EDB≌△ECF

得AE=BD，從而得證；

（2）在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取CF＝AE，連接EF，同理可得AE、AC和CD的數(shù)量關(guān)系；

（3）同（2）的探究過(guò)程可得AE、AC和CD的數(shù)量關(guān)系.

（1）證明：在CD上截取CF＝AE，連接EF．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝60°，AB＝BC．

∴BF＝BE，△BEF為等邊三角形．

∴∠EBD＝∠EFC＝120°．

又∵ED＝EC，

∴∠D＝∠ECF．

∴△EDB≌△ECF （AAS）

∴CF＝BD．

∴AE＝BD．

∵CD＝BC+BD，BC＝AC，

∴AE+AC＝CD；

（2）解：在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取CF＝AE，連接EF．

同（1）的證明過(guò)程可得AE＝BD．

∵CD＝BC﹣BD，BC＝AC，

∴AC﹣AE＝CD；

（3）解：AE﹣AC＝CD．

（在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取CF=AE，連接EF．證明過(guò)程類(lèi)似（2））．

故答案為：（1）證明見(jiàn)解析；（2）AC﹣AE＝CD，證明見(jiàn)解析；（3）AE﹣AC＝CD．