Question

（2013•徐州模擬）如圖，已知半徑為1的⊙O₁與x軸交于A、B兩點，經(jīng)過原點的直線MN切⊙O₁于點M，圓心O₁的坐標為（2，0）．
（1）求切線MN的函數(shù)解析式；
（2）線段OM上是否存在一點P，使得以P、O、A為頂點的三角形與△OO₁M相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）若將⊙O₁沿著x軸的負方向以每秒1個單位的速度移動；同時將直線MN以每秒2個單位的速度向下平移，設運動時間為t（t＞0），求t為何值時，直線MN再一次與⊙O₁相切？（本小題保留3位有效數(shù)字）

Answer 1

分析：過點M作MF⊥x軸，垂足為F，根據(jù)MN是切線，M為切點，得到O₁M⊥OM，在Rt△OO₁M中根據(jù)正弦值的定義求得∠O₁OM=30°，從而求得MF和OF，最后求得點M的坐標后利用待定系數(shù)法求得直線的解析式即可．
（2）過點A作AP₁⊥x軸，與OM交于點P₁．利用Rt△AP₁O∽Rt△MO₁O求得P₁A后即可求得點P₁的坐標；過點A作AP₂⊥OM，垂足為P₂，過P₂點作P₂H⊥OA，垂足為H．
利用Rt△AP₂O∽Rt△O₁MO求得OP₂和OH即可求得P₂的坐標；
（3）首先在Rt△CON中，CO=2

3

t；在Rt△O₁MF中，O₁C=2

3

t-（2-t），則O₁C=2O₁M=2，列出有關t的方程2

3

t-2+t=2即可求得t值．

解答：解：（1）過點M作MF⊥x軸，垂足為F
∵MN是切線，M為切點，
∴O₁M⊥OM
在Rt△OO₁M中，sin∠O1OM=

O1M

OO1

=

1

2

∴∠O₁OM=30°，OM=

3

在Rt△MOF中，∠O₁OM=30°，OM=

3

∴MF=

3

2

，OF=

3

2

∴點M坐標為(

3

2

，

3

2

)（2分）
設切線MN的函數(shù)解析式為y=kx（k≠0），由題意可知

3

2

=

3

2

k，
解得：k=

3

3

∴切線MN的函數(shù)解析式為y=

3

3

x（1分）

（2）存在．
①過點A作AP₁⊥x軸，與OM交于點P₁．
可得Rt△AP₁O∽Rt△MO₁O，P1A=

OA

3

=

3

3

，
∴P1(1，

3

3

)（2分）
②過點A作AP₂⊥OM，垂足為P₂，過P₂點作P₂H⊥OA，垂足為H．
可得Rt△AP₂O∽Rt△O₁MO
在Rt△OP₂A中，∵OA=1，
∴OP2=

3

2

在Rt△OP₂H中，P2H=

3

4

，OH=

3

4

，
∴P2(

3

4

，

3

4

)（2分）
∴符合條件的P點坐標有(1，

3

3

)，(

3

4

，

3

4

)
（3）如圖，作MF⊥x軸于點F，
在Rt△CON中，CO=2

3

t；
在Rt△O₁MC中，O₁C=2

3

t-（2-t）
∵O₁C=2O₁M=2，
∴2

3

t-2+t=2，
解得：t=

4

2 3 +1

≈0.896．

點評：本題是直線與圓的方程綜合性題，對于存在性的處理方法，先假設存在再由題意用設而不求思想和韋達定理列出關系式，注意驗證所求值的范圍．