Question

（2011•南充）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：△MDC是等邊三角形；
（2）將△MDC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，當(dāng)MD（即MD′）與AB交于一點(diǎn)E，MC（即MC′）同時(shí)與AD交于一點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)和點(diǎn)A構(gòu)成△AEF．試探究△AEF的周長(zhǎng)是否存在最小值．如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，請(qǐng)計(jì)算出△AEF周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

（1）證明：過(guò)點(diǎn)D作DP⊥BC，于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥BC于點(diǎn)Q，

∵∠C=∠B=60°
∴CP=BQ=AB，CP+BQ=AB，
又∵ADPQ是矩形，AD=PQ，
故BC=2AD，
由已知，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，
BM=CM=AD=AB=CD，
即△MDC中，CM=CD，∠C=60°，
故△MDC是等邊三角形．
（2）解：△AEF的周長(zhǎng)存在最小值，理由如下：
連接AM，由（1）平行四邊形ABMD是菱形，
△MAB，△MAD和△MC′D′是等邊三角形，
∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°，
∴∠BME=∠AMF，
在△BME與△AMF中，BM=AM，∠EBM=∠FAM=60°，
∴△BME≌△AMF（ASA），
∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB，
∵∠EMF=∠DMC=60°，故△EMF是等邊三角形，EF=MF，
∵M(jìn)F的最小值為點(diǎn)M到AD的距離，即EF的最小值是，
△AEF的周長(zhǎng)=AE+AF+EF=AB+EF，
△AEF的周長(zhǎng)的最小值為2+，
答：存在，△AEF的周長(zhǎng)的最小值為2+．

解析