Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線交軸于A（2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)C（0，）.

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的對稱軸與直線交于點(diǎn)D，作⊙D與x軸相切，⊙D交軸于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，求劣弧EF所對圓心角的度數(shù)；
（3）P為此拋物線在第二象限圖像上的一點(diǎn)，PG垂直于軸，垂足為點(diǎn)G，試確定P點(diǎn)的位置，使得△PGA的面積被直線AC分為1︰2兩部分.

Answer 1

（1）；（2）120°；（3）或.

試題分析：（1）將A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值；
（2）根據(jù)（1）得到的拋物線的解析式，可求出其對稱軸方程聯(lián)立直線OD的解析式即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；由于⊙D與x軸相切，那么D點(diǎn)縱坐標(biāo)即為⊙D的半徑；欲求劣弧EF的長，關(guān)鍵是求出圓心角∠EDF的度數(shù)，連接DE、DF，過D作y軸的垂線DM，則DM即為D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，通過解直角三角形易求得∠EDM和∠FDM的度數(shù)，即可得到∠EDF的度數(shù)，進(jìn)而可根據(jù)弧長計(jì)算公式求出劣弧EF的長；
（3）易求得直線AC的解析式，設(shè)直線AC與PG的交點(diǎn)為N，設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線與直線AC的解析式即可得到P、N的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可求出PN，NG的長；Rt△PGA中，△PNA與△NGA同高不等底，那么它們的面積比等于底邊PN、NG的比，因此本題可分兩種情況討論：①△PNA的面積是△NGA的2倍，則PN：NG=2：1；②△PNA的面積是△NGA的，則NG=2PN；可根據(jù)上述兩種情況所得的不同等量關(guān)系求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而由拋物線的解析式確定出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
試題解析：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），B（6，0），C（0，），
∴， 解得.
∴拋物線的解析式為：.
（2）易知拋物線的對稱軸是.
把代入y=2x得y=8，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4,8）．
∵⊙D與x軸相切，∴⊙D的半徑為8．
如圖，連結(jié)DE、DF，作DM⊥y軸，垂足為點(diǎn)M．
在Rt△MFD中，F(xiàn)D=8，MD=4．∴cos∠MDF=．
∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°．
∴劣弧EF所對圓心角為：120°.
（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b. ∵直線AC經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），C（0，），
∴，解得.∴直線AC的解析式為：.
設(shè)點(diǎn)P，PG交直線AC于N，
則點(diǎn)N坐標(biāo)為.
∵S_△PNA：S_△GNA=PN：GN，
∴①若PN︰GN=1︰2，則PG︰GN=3︰2，PG=GN.
即，解得：m₁=－3， m₂=2（舍去）.
當(dāng)m=－3時(shí)，.
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.   
②若PN︰GN=2︰1，則PG︰GN=3︰1， PG=3GN.
即，解得：m₁=－12， m₂=2（舍去）.
當(dāng)m=－12時(shí)，.
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為或時(shí)，△PGA的面積被直線AC分成1︰2兩部分．

考點(diǎn)1.：二次函數(shù)綜合題；2.二次函數(shù)解析式的確定；3.函數(shù)圖象交點(diǎn)；4.圖形面積的求法；5分類思想的應(yīng)用．