Question

已知關(guān)于x的一元二次方程mx ²－(3m＋2)x＋2m＋2＝0(m>0)
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x₁、x₂(x₁＜x₂),若y是關(guān)于m的函數(shù)，且y=x₂－2x₁，求這個函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖像回答：當自變量m的取值范圍滿足什么條件時，y≤2m.

Answer 1

（1）證明見解析（2）y=（3）m≥1

（1）證明：∵a=m,b=-(3m+2),c=2m+2
∴Δ=【－(3m+2)】²－4m(2m＋2)
=9m²+12m+4－8m²－8m
=m²+4m+4
=(m+2)²
又∵m>0
∴Δ=(m+2)²>0
∴ 此方程有兩個不相等的實數(shù)根
（2）先由公式法可求得x=1或x=
∵x₁<x₂
∴x₁=1,x₂ =
∴y=x₂ -2x₁=－2=(m>0)
（3）在同一直角坐標系中分別畫出函數(shù)y=(m>0)和y₁=2m的圖像，由圖像可得當m≥1時，y≤2m.圖略.
本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．本題也考查了不等式的解法，m＞0是一個重要的條件．