Question

如圖，已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M（-2，-1），且點P（-1，-2）為雙曲線上的一點，過P作PA垂直x軸于點A：
（1）寫出正比例函數和反比例函數的關系式；
（2）若點Q為直線MO上一動點（不與點M、O重合），過點Q作QB⊥y軸于點B，是否存在點Q，使△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，在平面內找一點C，使以O、P、C、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出C點坐標．

Answer 1

分析：（1）設反比例函數的解析式為y=

k

x

，正比例函數的解析式為y=k′x．把點M（-2，-1）分別代入其函數解析式，運用待定系數法即可求出對應的函數的關系式；
（2）當點Q在直線MO上運動時，假設在直線MO上存在這樣的點Q（x，

1

2

x），使得△OBQ與△OAP面積相等，則B（0，

1

2

x）．根據三角形的面積公式列出關于x的方程，解方程即可；
（3）利用在（2）的條件下，在平面內找一點C，使以O、P、C、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，結合P，Q坐標以及平行四邊形的對邊相等，即可得出C點坐標．

解答：解：（1）設反比例函數的解析式為y=

k

x

（k≠0），正比例函數的解析式為y=k′x．
∵正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M（-2，-1），
∴-1=

k

-2

，-1=-2k′，
∴k=2，k′=

1

2

．
∴正比例函數的解析式為y=

1

2

x，反比例函數的解析式為y=

2

x

．

（2）當點Q在直線MO上運動時，假設在直線MO上存在這樣的點Q（x，

1

2

x），使得△OBQ與△OAP面積相等，則B（0，

1

2

x）．
∵S_△OBQ=S_△OAP，
∴

1

2

•x×

1

2

x=

1

2

×2×1，
解得x=±2．
當x=2時，

1

2

x=1；
當x=-2時，

1

2

x=-1．
故在直線MO上存在這樣的點Q（2，1）或（-2，-1），使得△OBQ與△OAP面積相等．

（3）如圖所示：當四邊形OPCQ是平行四邊形，
∵P（-1，-2），Q（2，1），
∴C點坐標為；（1，-1），
當四邊形OPQ′C′是平行四邊形，
∵P（-1，-2），Q′（-2，-1），
∴C′點坐標為；（-1，1），
綜上所述：使以O、P、C、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，C點坐標為：（-1，1），（1，-1）．

點評：本題考查了運用待定系數法求函數的解析式及三角形的面積，利用形數結合解決此類問題，是非常有效的方法．