已知:在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,現(xiàn)將一塊邊長(zhǎng)足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)置于AB的中點(diǎn)O處,兩直角邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C,然后將三角板繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度反(0°<a<90°),旋轉(zhuǎn)后,直角三角板的直角邊分別與AC、BC相交于點(diǎn)K、H,四邊形CHOK是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中三角板與△ABC的重疊部分(如圖1所示).那么,在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中:
(1)如圖1,線(xiàn)段BH與CK具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?四邊形CHOK的面積是否發(fā)生變化?請(qǐng)說(shuō)明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的理由.
(2)如圖2,連接HK,
①若AK=12,BH=5,求△OKH的面積;
②若AC=BC=4,設(shè)BH=x,當(dāng)△CKH的面積為2時(shí),求x的值,并說(shuō)出此時(shí)四邊形CHOK是什么特殊四邊形.精英家教網(wǎng)
分析:(1)本題關(guān)鍵是要證△OCK≌△OBH,連接CO,因?yàn)椤鰽CB是等腰直角三角形,故CO⊥AB,得CO=OB,∠B=∠OCK,及旋轉(zhuǎn)角相等,得出△OCK≌△OBH,故BH=CK,四邊形CHOK的面積等于三角形ACB面積的一半.
(2)①由△OCK≌△OBH,得出OK=OH,所以△OKH是等腰直角三角形,所以△OKH的面積=
1
4
KH2
,求得KH就可求得面積.
②由AC=BC=4,BH=x,可得,CH=4-x,由面積公式可得關(guān)于x的方程x2-4x+4=0,解得x=2,又∠KOH=90°,所以四邊形CHOK是正方形.
解答:解:(1)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,BH=CK,四邊形CHOK的面積始終保持不變,其值為△ABC面積的一半.
理由如下:連接OC,
∵△ABC為等腰直角三角形,O為斜邊AB的中點(diǎn),CO⊥AB,
∴∠OCK=∠B=45°,CO=OB.
又∵∠COK與∠BOH均為旋轉(zhuǎn)角,
∴∠COK=∠BOH=a,
∴△COK≌△BOH(ASA).
∴BH=CK,S四邊形CHOK=S△COK+S△COH=S△BOH+S△COH=S△COB=
1
2
S△ABC

(2)①由(1)知,BH=CK=5,AK=CH=12,
在Rt△CKH中,∠C=90°,KH=
52+122
=13(KH>0),
∴S△OKH=
1
2
OK•OH=
1
4
KH2=
169
4


②由(1)知,CK=BH=x,
∵BC=4,
∴CH=4-x.
∵根據(jù)題意,得S△CKH=
1
2
CH.CK=2,
1
2
(4-x)x=2,
即x2-4x+4=0,
解得x=2(0<x<4).
即CK=CH=BH=2,
∵AC=BC=4,∠A=∠B=45°,
∴CH=BH=2,
∵O為AB中點(diǎn),
∴OH∥AC,
∴∠OHB=∠C=90°,
∵∠B=45°=∠HOB,
∴OH=BH=2,
同理CK=AK=OK=2,
即CK=OK=KH=CH=2,∠C=90°,
∴四邊形CHOK是正方形,
即當(dāng)△CKH的面積為2時(shí),x的取值是2,此時(shí)四邊形CHOK是正方形.
點(diǎn)評(píng):本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算,要知道如何判定三角形全等,同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí),一定要認(rèn)真觀察圖象.
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25、已知:在△ABC中AB=AC,點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上.
求證:AD2-AB2=BD•CD.

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精英家教網(wǎng)(1)化簡(jiǎn):(a-
1
a
)÷
a2-2a+1
a
;
(2)已知:在△ABC中,AB=AC.
①設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為7,BC=y,AB=x(2≤x≤3).寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
②如圖,點(diǎn)D是線(xiàn)段BC上一點(diǎn),連接AD,若∠B=∠BAD,求證:△BAC∽△BDA.

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20、如圖,已知,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)M,ME∥AB交BC于點(diǎn)E,MF∥AC交BC于點(diǎn)F.求證:△MEF的周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng).

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12、已知,在△ABC中,AB=AC=x,BC=6,則腰長(zhǎng)x的取值范圍是
x>3

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已知:在△ABC中,∠B<∠C,AD平分∠BAC,AE⊥BC,垂足為點(diǎn)E.∠B=38°,∠C=70°.
①求∠DAE的度數(shù);
②試寫(xiě)出∠DAE與∠B、∠C之間的一般等量關(guān)系式(只寫(xiě)結(jié)論)

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