Question

在平面直角坐標系xOy中，點P是拋物線：y=x²上的動點（點在第一象限內(nèi)）．連接 OP，過點0作OP的垂線交拋物線于另一點Q．連接PQ，交y軸于點M．作PA丄x軸于點A，QB丄x軸于點B．設(shè)點P的橫坐標為m．
（1）如圖1，當m=時，
①求線段OP的長和tan∠POM的值；
②在y軸上找一點C，使△OCQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形，求點C的坐標；
（2）如圖2，連接AM、BM，分別與OP、OQ相交于點D、E．
①用含m的代數(shù)式表示點Q的坐標；
②求證：四邊形ODME是矩形．

Answer 1

解：（1）①把x=代入 y=x²，得 y=2，
∴P（，2），
∴OP=
∵PA丄x軸，
∴PA∥MO
∴tan∠P0M=tan∠OPA==．
②設(shè) Q（n，n²），
∵tan∠QOB=tan∠POM，
∴．
∴n=
∴Q（，），
∴OQ=．
當OQ=OC時，則C₁（0，），C₂（0，）；
當OQ=CQ時，則C₃（0，1）．
綜上所述，所求點C坐標為：C₁（0，），C₂（0，），C₃（0，1）．
（2）①∵P（m，m²），設(shè) Q（n，n²），
∵△APO∽△BOQ，
∴
∴，得n=，
∴Q（，）．
②設(shè)直線PO的解析式為：y=kx+b，把P（m，m²）、Q（，）代入，得：

解得b=1，
∴M（0，1）
∴，∠QBO=∠MOA=90°，
∵△QBO∽△MOA
∴∠MAO=∠QOB，
∴QO∥MA
同理可證：EM∥OD
又∵∠EOD=90°，
∴四邊形ODME是矩形．