Question

19．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a、b、c是常數(shù)）與x軸交于兩個不同的點A、B，與y軸交于點C，圖象頂點為點D，以AB為直徑的⊙M經(jīng)過點D．
（1）若a：b：c=1：3：2，求a的值；
（2）若⊙M與直線y=x相切，試判斷S_△ABC與S_△ABD的大小關系，并說明理由；
（3）若⊙M與直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x相交于點P、Q，拋物線經(jīng)過點（1，0），弦長PQ=|$\frac{1}{a}$|，求a的值．

Answer 1

分析 （1）設A（x₁，0），B（x₂，0），頂點D（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$），因為以AB為直徑的⊙M經(jīng)過點D，所以△ABD是等腰直角三角形，則有$\frac{1}{2}$|x₁-x₂|=|$\frac{4ac-^{2}}{4a}$|，即$\frac{1}{4}$[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=$\frac{（4ac-^{2}）^{2}}{16{a}^{2}}$，即$\frac{1}{4}$（$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4c}{a}$）=$\frac{（4ac-^{2}）^{2}}{16{a}^{2}}$，推出b²-4ac=4，由a：b：c=1：3：2，設a=k，b=3k，c=2k，代入即可解決問題．
（2）結(jié)論：S_△ABD=2S_△ABC．因為△OMN是等腰直角三角形，所以OM=$\sqrt{2}$MN，可得$\frac{|{x}_{1}+{x}_{2}|}{2}$=$\sqrt{2}$•$\frac{|{x}_{1}-{x}_{2}|}{2}$，推出b²=8ac，所以拋物線的頂點D縱坐標為$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=-c，由點C坐標（0，c），可知S_△ABD=S_△ABC．
（3）結(jié)論：S_△ABC=2S_△ABD．如圖1中，作MN⊥PQ于N，連接PM．在Rt△NMP中，根據(jù)MN²+PN²=PM²，得$\frac{1}{16}$（x₁+x₂）²+$\frac{1}{4{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）²，推出b²=12，ac=2，由題意a+b+c=0，推出a+c=±2$\sqrt{3}$，a-c=±2，由此即可解決問題．

解答 解：（1）設A（x₁，0），B（x₂，0），
∵頂點D（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$），
又∵以AB為直徑的⊙M經(jīng)過點D，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴$\frac{1}{2}$|x₁-x₂|=|$\frac{4ac-^{2}}{4a}$|，
∴$\frac{1}{4}$[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=$\frac{（4ac-^{2}）^{2}}{16{a}^{2}}$，
∴$\frac{1}{4}$（$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4c}{a}$）=$\frac{（4ac-^{2}）^{2}}{16{a}^{2}}$，
∵a≠0，
整理得（b²-4ac）（b²-4ac-4）=0，
∵b²-4ac＞0，
∴b²-4ac=4，
∵a：b：c=1：3：2，設a=k，b=3k，c=2k，
∴9k²-8k²=4，
∴k=±2，
∴a=±2．

（2）結(jié)論：S_△ABD=S_△ABC．理由如下，
如圖1中，設⊙M與直線y=x相切于到N，連接MN．

∵△OMN是等腰直角三角形，
∴OM=$\sqrt{2}$MN，
∴$\frac{|{x}_{1}+{x}_{2}|}{2}$=$\sqrt{2}$•$\frac{|{x}_{1}-{x}_{2}|}{2}$，
∴（x₁+x₂）²=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]，
∴（x₁+x₂）²=8x₁x₂，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{8c}{a}$，
∴b²=8ac，
∴拋物線的頂點D縱坐標為$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=-c，
∵點C坐標（0，c），
∴S_△ABD=S_△ABC．


（3）如圖2中，作MN⊥PQ于N，連接PM．

由（1）可知MP=$\frac{1}{2}$|x₁-x₂|，OM=|$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$|，由題意∠MON=30°，
∴NM=$\frac{1}{2}$OM=$\frac{1}{4}$|x₁+x₂|，
在Rt△NMP中，∵MN²+PN²=PM²，
∴$\frac{1}{16}$（x₁+x₂）²+$\frac{1}{4{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）²，
∴$\frac{^{2}}{16{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4c}{a}$），
∴b²+4=4（b²-4ac），
∵b²-4ac=4（已證），
∴b²=12，ac=2，
∵拋物線經(jīng)過（1，0），
∴a+b+c=0，
∴（a+c）²=12，（a-c）²=4
∴a+c=±2$\sqrt{3}$，a-c=±2，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}+1}\\{c=\sqrt{3}-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}-1}\\{c=\sqrt{3}+1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1-\sqrt{3}}\\{c=-1-\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1-\sqrt{3}}\\{c=1-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴a的值為$\sqrt{3}$±1或-$\sqrt{3}$±1．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應用、一元二次方程的根與系數(shù)關系、等腰直角三角形的性質(zhì)、中點坐標公式、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．