Question

【題目】在矩形ABCD中，點EFGH分別是邊ABBCCDDA的中點，順次連結E1F1G1H1所得的四邊形我們稱之為中點四邊形如圖

（1） 求證：四邊形E1F1G1H1是菱形；

（2）設E1F1G1H1的中點四邊形是 E2F2G2H2，E2F2G2H2的中點四邊形形是E3F3G3H3….En-1Fn-1Gn-1Hn-1的中點四邊形是EnFnGnHn，那么這些中點四邊形形狀的變化有沒有規(guī)律性？ （填“有”或“無” ）若有，說出其中的規(guī)律性

（3） 進一步：如果我們規(guī)定：矩形=0，菱形=1，并將矩形ABCD的中點四邊形用f(0)表示；菱形的中點四邊形用f(1)表示，由題（1）知，f(0)=1，那么

么 f(1)=

Answer 1

【答案】（1）連結AC、BD，證E1F1∥G1H1，且1 E1F1= G1H1，， E1F1=E1H1;（2）有，菱形與矩形交替出現(xiàn);（3）f(1)=0.

【解析】

（1）利用三角形的中位線性質及矩形的對角線相等即可證明四條邊都相等，即得證；

（2）通過觀察，發(fā)現(xiàn)這兩個四邊形互為中點四邊形；（3）通過總結規(guī)律可以得到菱形的中點四邊形為矩形.

（1）連接AC，BD，

∵點E1，F1，G1，H1分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，

∴E1H1=BD,同理F1G1=BD,H1G1=AC,E1F1=AC,

又在矩形ABCD中，AC=BD，

∴E1H1= F1G1= H1G1= E1F1

∴四邊形E1F1G1H1是菱形；

（2）有，矩形的中點四邊形為菱形，菱形的中點四邊形為矩形；

（3）∵矩形的中點四邊形為菱形，

即f(0)=1

∴菱形的中點四邊形為矩形可表示為f(1)=0.