Question

【題目】（1）閱讀理解：

我們知道，只用直尺和圓規(guī)不能解決的三個經(jīng)典的希臘問題之一是三等分任意角，但是這個任務可以借助如圖1所示的一邊上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角頂點為P，

“寬臂”的寬度＝PQ＝QR＝RS，（這個條件很重要哦�。┕闯叩囊贿�MN滿足M，N，Q三點共線（所以PQ⊥MN）．

下面以三等分∠ABC為例說明利用勾尺三等分銳角的過程：

第一步：畫直線DE使DE∥BC，且這兩條平行線的距離等于PQ；

第二步：移動勾尺到合適位置，使其頂點P落在DE上，使勾尺的MN邊經(jīng)過點B，同時讓點R落在∠ABC的BA邊上；

第三步：標記此時點Q和點P所在位置，作射線BQ和射線BP．

請完成第三步操作，圖中∠ABC的三等分線是射線　 　、　 　．

（2）在（1）的條件下補全三等分∠ABC的主要證明過程：

∵　 　，BQ⊥PR，

∴BP＝BR．（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等）

∴∠　 　＝∠　 　．

∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，

∴∠　 　＝∠　 　．

（角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上）

∴∠　 　＝∠　 　＝∠　 　．

（3）在（1）的條件下探究：是否成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請在圖2中∠ABC的外部畫出（無需寫畫法，保留畫圖痕跡即可）．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析， BP、BQ；（2）PQ＝QR，ABQ，PBQ，PBQ，PBC，ABQ，PBQ，PBC；（3）不成立，圖見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意和作法即可補全圖形，進而對∠ABC的三等分線進行判斷；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質、等腰三角形三線合一的性質、角平分線的判定依次進行判斷填寫即可；

（3）連接BS，如圖2，不成立，如圖3，作點Q關于直線AB的對稱點V，作射線BV，即為所求.

解：（1）如圖1，∠ABC的三等分線是射線BP、射線BQ；故答案為：BP，BQ；

（2）如圖1，作PT⊥BC于點T，∵PQ＝QR，BQ⊥PR，

∴BP＝BR．（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等）

∴∠ABQ＝∠PBQ．

∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，

∴∠PBQ＝∠PBC．（角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上）

∴∠ABQ＝∠PBQ＝∠PBC．

故答案為： PQ＝QR，ABQ，PBQ，PBQ，PBC，ABQ，PBQ，PBC；

（3）在（1）的條件下，連接BS，如圖2，∠ABS≠∠ABQ，所以∠ABS＝∠ABC不成立；

如圖3，作點Q關于直線AB的對稱點V，作射線BV，則∠ABV滿足∠ABV＝∠ABQ＝∠ABC，且在∠ABC外部，符合題意．