證明：△ABC的垂心H、重心G和外心O在同一條直線上．
分析：從三角形重心的唯一性入手，主證HO與中線BE的交點(diǎn)與重心G重合．
解答：證明：連接中位線DE（圖9-16）則DE∥AB，又AH∥OD，BH∥OE（BH、OE同垂直于AC）故△DEO∽△ABH，
從而OE：HB=DE：AB=1：2．
連接OH交中線BE于G'．
∵BH∥OE，
∴△OEG'∽△HBG'．
因此，EG'：BE'=OE：HB=1：2．
這說(shuō)明G'點(diǎn)即為△ABC的重心G．
從而H、G、O三點(diǎn)共線．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形中線的性質(zhì)，以及三角形相似的性質(zhì)，有一定綜合性．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

11、如圖，在銳角△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，直線AP，BP，CP分別交對(duì)邊于Q1，Q2，Q3，且∠PQ1C=∠PQ2A=∠PQ3B．
試問(wèn)：點(diǎn)P是否必為△ABC的垂心？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)舉反例說(shuō)明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在銳角△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，直線AP，BP，CP分別交對(duì)邊于Q1，Q2，Q3，且∠PQ1C=∠PQ2A=∠PQ3B．
試問(wèn)：點(diǎn)P是否必為△ABC的垂心？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)舉反例說(shuō)明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)H是等腰三角形ABC的垂心．在底邊BC保持不變的情況下，讓頂點(diǎn)A至底邊BC的距離變小，問(wèn)這時(shí)乘積S△ABC•S△HBC的值變大？變��？還是不變？證明你的結(jié)論．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2009年數(shù)學(xué)九年級(jí)奧林匹克初中訓(xùn)練（06）（解析版） 題型：解答題

如圖，在銳角△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，直線AP，BP，CP分別交對(duì)邊于Q1，Q2，Q3，且∠PQ1C=∠PQ2A=∠PQ3B．
試問(wèn)：點(diǎn)P是否必為△ABC的垂心？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)舉反例說(shuō)明．

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