Question

在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm．
（1）求BC的長；
（2）點P為斜邊BC上的一個動點（P與B、C不重合），PC=xcm，以點P為中心把△ABC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF．
①當(dāng)點P在如圖所示的位置時，DF交AC、BC分別于點N、Q，EF交AC于點M，求MF的長；
②設(shè)△DEF與△ABC重疊部分的面積為ycm²，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為ABC為直角三角形，由兩條邊的長結(jié)合勾股定理求解即可．
（2）①由條件EF⊥BC于P，∠MPC=90°得出△PMC∽△ABC，根據(jù)比例關(guān)系求出MP的長，即可得出FM的長．
②先根據(jù)題意結(jié)合圖形求出x的取值范圍，得出當(dāng)x=

20

7

、

16

5

時為分界點，當(dāng)x在不同區(qū)間時，面積有不同的求解方法，分不同的區(qū)間求解即可．

解答：解：（1）∵在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，
∴根據(jù)勾股定理得BC=5cm．

（2）①∵繞點P旋轉(zhuǎn)90°，EF⊥BC于P，∠MPC=90°
又∠C=∠C，
∴△PMC∽△ABC，
∴

MP

AB

=

PC

AC

，
∴MP=

3x

4

，
∵PC=PM=x，
∴FM=

x

4

．
②當(dāng)A與N重合時．
由PC=x可得MC=

5x

4

，AM=4-

5x

4

△FNM∽△CPM，
解得x=

20

7

；
當(dāng)A與M重合時，容易求得x=

16

5

，
i）當(dāng)0＜x≤

20

7

時
y=S_△FPQ-S_△FNM=S_△CPM-S_△FNM=

9x2

25

；
ii）當(dāng)

20

7

＜x≤

16

5

時
y=S_△ABC-S_△CPM=6-

3x2

8

；
iii）當(dāng)

16

5

＜x＜5時，
y=S_△MPB=

2

3

(5-x)2．

點評：本題考查了二次函數(shù)的運用，解題時要注意結(jié)合圖形，分情況解題，不要漏掉一種情況．