Question

4．如圖，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=2，AB=CD=10，在矩形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)M，在CD上取一點(diǎn)N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點(diǎn)K，得到△MNK．
（1）若∠1=70°，求∠MKN的度數(shù)；
（2）當(dāng)折痕MN與對(duì)角線AC重合時(shí)，試求△MNK的面積；
（3）△MNK的面積能否小于2？若能，求出此時(shí)∠1的度數(shù)；若不能，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)求出∠KNM，∠KMN的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解；
（2）當(dāng)折痕MN與對(duì)角線AC重合時(shí)，此時(shí)△AKC為等腰三角形，設(shè)MK=AK=CK=x，則DK=10-x，在Rt△ADK中，根據(jù)勾股定理得：AD²+DK²=AK²，即2²+（10-x）²=x²，求得x=5.2，所以MK=AK=CK=5.2，根據(jù)三角形面積公式即可解答；
（3）不能，過M點(diǎn)作ME⊥DN，垂足為E，通過證明NK≥2，由三角形面積公式可得△MNK的面積不可能小于2．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AM∥DN，
∴∠KNM=∠1，
∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN，
∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=70°，
∴∠MKN=40°；

（2）如圖1，

折痕即為AC，此時(shí)△AKC為等腰三角形，
設(shè)MK=AK=CK=x，則DK=10-x，
在Rt△ADK中，根據(jù)勾股定理得：AD²+DK²=AK²，
即2²+（10-x）²=x²，
解得：x=2.6，
∴MK=AK=CK=5.2，S_△MNK=S_△ACK=$\frac{1}{2}$×2×5.2=5.2，
∴△MNK的面積的為5.2；

（3）不能，如圖2，

理由如下：過M點(diǎn)作AE⊥DN，垂足為點(diǎn)E，則ME=AD=2，
由（1）知，∠KNM=∠KMN，
∴MK=NK，
又∵M(jìn)K≥ME，ME=AD=2，
∴MK≥2，
又∵S_△MNK=$\frac{1}{2}$NK•ME≥2，
即△MNK面積的最小值為2，
∴△MNK的面積不能小于2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是利用翻折變換的性質(zhì)得到相等的角，掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想．