在直角坐標系xoy中,已知點P是反比例函數(shù)圖象上一個動點,以P為圓心的圓始終與y軸相切,設切點為A.
(1)如圖1,⊙P運動到與x軸相切,設切點為K,試判斷四邊形OKPA的形狀,并說明理由.
(2)如圖2,⊙P運動到與x軸相交,設交點為B,C.當四邊形ABCP是菱形時:
①求出點A,B,C的坐標.
②在過A,B,C三點的拋物線上是否存在點M,使△MBP的面積是菱形ABCP面積的.若存在,試求出所有滿足條件的M點的坐標,若不存在,試說明理由.
解:(1)∵⊙P分別與兩坐標軸相切, ∴ PA⊥OA,PK⊥OK.
∴∠PAO=∠OKP=90°.
又∵∠AOK=90°, ∴ ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°.
∴四邊形OKPA是矩形.
又∵OA=OK, ∴四邊形OKPA是正方形.
(2)①連接PB,設點P的橫坐標為x,則其縱坐標為.
過點P作PG⊥BC于G.
∵四邊形ABCP為菱形,
∴BC=PA=PB=PC.
∴△PBC為等邊三角形.
在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,
PG=.
sin∠PBG=,即.
解之得:x=±2(負值舍去).
∴ PG=,PA=BC=2.
易知四邊形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,
∴OB=OG-BG=1,OC=OG+GC=3.
∴ A(0,),B(1,0) C(3,0).
設二次函數(shù)解析式為:y=ax2+bx+c.
據(jù)題意得:
解之得:a=, b=, c=.
∴二次函數(shù)關系式為:.
②解法一:設直線BP的解析式為:y=ux+v,據(jù)題意得:
解之得:u=, v=.
∴直線BP的解析式為:.
過點A作直線AM∥PB,則可得直線AM的解析式為:.
解方程組:
得: ; .
過點C作直線CM∥PB,則可設直線CM的解析式為:.
∴0=.
∴.
∴直線CM的解析式為:.
解方程組:
得: ; .
綜上可知,滿足條件的M的坐標有四個,
分別為:(0,),(3,0),(4,),(7,).
解法二:∵,
∴A(0,),C(3,0)顯然滿足條件.
延長AP交拋物線于點M,由拋物線與圓的軸對稱性可知,PM=PA.
又∵AM∥BC,
∴.
∴點M的縱坐標為.
又點M的橫坐標為AM=PA+PM=2+2=4.
∴點M(4,)符合要求.
點(7,)的求法同解法一.
綜上可知,滿足條件的M的坐標有四個,
分別為:(0,),(3,0),(4,),(7,).
解法三:延長AP交拋物線于點M,由拋物線與圓的軸對稱性可知,PM=PA.
又∵AM∥BC,
∴.
∴點M的縱坐標為.
即.
解得:(舍),.
∴點M的坐標為(4,).
點(7,)的求法同解法一.
綜上可知,滿足條件的M的坐標有四個,
分別為:(0,),(3,0),(4,),(7,).
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3 |
x |
t2-5t+9 |
t-2 |
3 |
x |
x |
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3 |
3 |
x |
| ||
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3 |
3 |
x |
3 |
t2-5t+9 |
t-2 |
(x+2)2-5(x+2)+9 |
x |
x2-x+3 |
x |
3 |
x |
3 |
x |
3 |
t2-5t+9 |
t-2 |
3 |
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k | x |
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