Question

如圖1，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上兩點，弧AC=弧CD，過點C作⊙O的切線，分別交BD、BA延長線于點E、P．
（1）若AD=6，BC=5，求BD的長．
（2）如圖2，若AD、BC交于點H，AH=

5

2

，DH=

3

2

，求tan∠PBC的值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用連接OC，交AD于點F，連接AC，利用切線的性質(zhì)得出OC⊥PE，進(jìn)而利用已知得出△BAC∽△BCE，再由勾股定理求出BD；
（2）利用切線的性質(zhì)定理以及圓周角定理得出∠PBC=∠CAH，再利用射影定理得出CK ²=AK×KH求出CK，進(jìn)而得出tan∠PBC的值即可．

解答：解：（1）連接OC，交AD于點F，連接AC，
∵PE是⊙O的切線，
∴OC⊥PE，
∵弧AC=弧CD，
∴OC⊥AD，
∴AF=DF，
∵OA=OB，
∴OC∥BE，
∴PE⊥BE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴四邊形CEDF是矩形，
∴CE=DF=

1

2

AD=

1

2

×6=3，
∵BC=5，
∴BE=

BC2-CE2

=4，
∵弧AC=弧CD，
∴∠ABC=∠CBE，
∵∠ACB=∠E=90°，
∴△BAC∽△BCE，
∴

BC

BE

=

BA

BC

，
∴AB=

BC2

BE

=

25

4

，
在Rt△ABD中，BD=

AB2-AD2

=

7

4

；

（2）連接AC，OC交AD于點K，
∵

AC

=

CD

，
∴∠PBC=∠CAH，
∴tan∠PBA=tan∠CAH，
由題意可得出：CK⊥AH，AC⊥CH，
∵O為AB中點，OC∥BD，
∴AK=DK=

1

2

AD，
KH=AH-2=

1

2

，
∵∠CAK=∠HCK，
∴tan∠CAK=tan∠HCK，
∵∠ACH=90°，CK⊥AH，
∴CK ²=AK×KH=2×

1

2

=1，
∴CK=1，
故tan∠PBC=tan∠CAH=

CK

AK

=

1

2

．

點評：此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系以及切線的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出CK ²=AK×KH是解題關(guān)鍵．