Question

下列說法：
①如圖1，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，則△ABC能被一條直線分成兩個小等腰三角形．
②如圖2，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分別為∠ABC，∠ACB的角平分線，且相交于點F，則圖中等腰三角形有6個．
③如圖3，△ABC是等邊三角形，CD⊥AD，且AD∥BC，則AD=

1

2

AB．
④如圖4，△ABC中，點E是AC上一點，且AE=AB，連接BE并延長至點D，使AD=AC，∠DAC=∠CAB，則∠DBC=

1

2

∠DAB其中，正確的有

③④

（請寫序號，錯選少選均不得分）

Answer 1

分析：不管過A（或過B或過C）作直線，都不能把三角形ABC分成兩個等腰三角形，即可判斷①；求出∠A=∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=36°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出三角形其余角的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的判定定理推出邊相等，即可判斷②；求出∠ACD=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出AD=

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2

AC，即可判斷③；過C作CF∥BD交AB的延長線于F，連接DC，EF，求出EF=BC，證三角形全等推出DE=EF，DC=CF，推出CD=BC，推出∠CDB=∠CBD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠CDB=∠CAB即可．

解答：解：若△ABC中，AB=AC，∠A=45°，不論過A作直線（或過B作直線或過C作直線）都不能把三角形ABC化成兩個等腰三角形，∴①錯誤；
圖②中，有等腰三角形7個：△ABD，△CBD，△ACE，△CDE，△BEF，△CDF，△FBC，∴②錯誤；
∵等邊△ABC，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
∵AD∥BC，CD⊥AD，
∴∠DCB=∠D=90°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=

1

2

AC=

1

2

AB，∴③正確；
過C作CF∥BD交AB的延長線于F，連接DC，EF，
∴

AE

AC

=

AB

AF

，
∵AE=AB，AD=AC，
∴AF=AC=AD，
∴CE=BF，
即BE∥CF，CE=BF，
∴四邊形BECF是等腰梯形，
∴EF=BC，
在△DAC和△FAC中

AD=AF ∠DAC=∠FAC AC=AC

，
∴△DAC≌△FAC，
∴CD=CF，
同理DE=EF，
∵AD=AC，AE=AB，
∴∠ADC=∠ACD，∠AEB=∠ABE，
∵∠DAC=∠BAC，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，∠CAB+∠AEB+∠ABE=180°，
∴∠ACD=∠AEB，
∵∠AEB=∠DEC，
∴∠ACD=∠DEC，
∴DE=CD，
∴DC=CF=EF=ED，
∵EF=CB，
∴DC=BC，
∴∠CBD=∠CDE，
∵∠DCA=∠DEC=∠AEB=∠ABE，
由三角形的內(nèi)角和定理得：∠CDE=∠CAB=

1

2

∠DAB，
∴∠DBC=

1

2

∠DAB，∴④正確．
故答案為：③④．

點評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判斷，角平分線定義，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的綜合運用，第④小題證明過程偏難，對學生提出較高的要求，熟練地運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．