Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于點P，AB是兩圓外公切線，A、B為切點，AB與O₁O₂的延長線交于C點，在AP延長線上有一點E，滿足

AP

AB

=

AC

AE

，PE交⊙O₂于D．
（1）求證：AC⊥EC；
（2）求證：PC=EC；
（3）若AP=4，PD=

9

4

，求

BC

EC

的值．

Answer 1

分析：（1）要證明AC⊥EC，即證明∠ACE=90°，可以根據(jù)切線的性質，證明∠APB=90°，再證明△APB∽△ACE即可；
（2）要證明PC=EC，即證明∠3=∠E；
（3）求

BC

EC

的值，可以找到它們與已知線段的關系，通過求PB，證明△PBC∽△APC得出．

解答：（1）證明：連接PB，OA，OB，
∵AB為公切線
∴∠1=

1

2

∠O₁，∠2=

1

2

∠PO₂B
∵O₁A∥O₂B
∴∠O₁+∠PO₂B=180°
∴∠1+∠2=90°
∴∠APB=90°
∵

AP

AB

=

AC

AE

，∠1=∠1
∴△APB∽△ACE
∴∠ACE=∠APB=90°
∴AC⊥EC；

（2）證明：∵BP⊥AE于P
∴∠3+∠4=90°
∵AB為公切線
∴O₂B⊥AB于B
∴∠2+∠5=90°
又∵O₂P=O₂B
∴∠4=∠5
∴∠2=∠3
由（1）知△APB∽△ACE
∴∠E=∠2
∴∠3=∠E
∴PC=EC；

（3）解：作內公切線PH，交AB于H，
∴AH=PH=HB
∴∠APB=90°
∴∠DPB=90°
∴DB為⊙O直徑
∴DB⊥AB于B
∴Rt△ABD中，BP為斜邊AD上的高
∴PB²=AP•DP=4×

9

4

∴PB=3
∵∠DBC=∠APB=90°，∠4=∠5
∴∠DBC+∠5=∠APB+∠C
∴∠PBC=∠APC
又∵∠6=∠6
∴△PBC∽△APC
∴

BC

PC

=

PB

AP

=

3

4

又∵PC=EC
∴

BC

EC

=

3

4

．

點評：本題綜合考查了圓與圓的位置關系、圓心角和圓周角的關系、切線的性質、相似三角形的判定和性質等多個知識點．