Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，AC=13，BC=5，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,勾股定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出結(jié)論；
（2）判斷△BED∽△CBA，利用對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可求出DE的長(zhǎng)度．

解答：（1）證明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠BCA=∠BDA（圓周角定理），
∴∠BCA=∠BAD．

（2）解：在Rt△ABC中，
∵AC=13，BC=5，
∴AB=

AC2-BC2

=12，
∵∠BDE=∠CAB（圓周角定理）且∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，
∴

BD

AC

=

DE

AB

，即

12

13

=

DE

12

，
解得：DE=

144

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定及圓周角定理的知識(shí)，綜合考查的知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題要求同學(xué)們熟練掌握一些定理的內(nèi)容．