Question

8．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在邊BA上以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在邊CB上以$\sqrt{3}$cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s（0≤t≤5），連接MN．
（1）若BM=BN，求t值．
（2）若△MBN和△ABC相似，求t的值．
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ACNM的面積最��？并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得出AB=10，BC=5$\sqrt{3}$．由題意知：BM=2t，CN=$\sqrt{3}$t，BN=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，由BM=BN得出方程2t=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，解方程即可；
（2）分兩種情況：①當(dāng)△MBN∽△ABC時(shí)，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出比例式，即可得出t的值；②當(dāng)△NBM∽△ABC時(shí)，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出比例式，即可得出t的值；
（3）過(guò)M作MD⊥BC于點(diǎn)D，則MD∥AC，證出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．四邊形ACNM的面積y=△ABC的面積-△BMN的面積，得出y是t的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=10，BC=5$\sqrt{3}$．     
由題意知：BM=2t，CN=$\sqrt{3}$t，
∴BN=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∵BM=BN，
∴2t=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
解得：t=10$\sqrt{3}$-15；

（2）分兩種情況：①當(dāng)△MBN∽△ABC時(shí)，
$\frac{MB}{AB}$=$\frac{BN}{BC}$，即$\frac{2t}{10}$=$\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{5\sqrt{3}}$，
解得：t=$\frac{5}{2}$；
②當(dāng)△NBM∽△ABC時(shí)，
$\frac{NB}{AB}$=$\frac{BM}{BC}$，即$\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{10}$=$\frac{2t}{5\sqrt{3}}$，
解得：t=$\frac{15}{7}$．
綜上所述：當(dāng)t=$\frac{5}{2}$或t=$\frac{15}{7}$時(shí)，△MBN與△ABC相似；

（3）如圖所示，過(guò)M作MD⊥BC于點(diǎn)D，則MD∥AC，
∴△BMD∽△BAC，
∴$\frac{MD}{AC}$=$\frac{BM}{AB}$，即$\frac{MD}{5}$=$\frac{2t}{10}$，
解得：MD=t．
設(shè)四邊形ACNM的面積為y，則
y=$\frac{1}{2}$×5×5$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）×t=$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}$-$\frac{5}{2}\sqrt{3}$t+$\frac{25}{2}\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{75}{8}$$\sqrt{3}$，
∴根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時(shí)，y的值最小，
此時(shí)y_min=$\frac{75}{8}\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算的綜合應(yīng)用．證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，解題時(shí)注意分類(lèi)思想的運(yùn)用．在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．