Question

將兩個不同的質數接起來可以得到一個四位數，比如由17，19可得到一個四位數1719；由19，17也可得到一個四位數1917．已知這樣的四位數能被這兩個兩位質數的平均數所整除，試寫出所有這樣的四位數．

Answer 1

【答案】分析：首先設這兩個質數分別是x，y，則將它們接起來得到的一個四位數是100x+y，然后根據這個四位數能被這兩個兩位質數的平均數所整除，可以設100x+y=m•（m為整數），即198x=（m-2）（x+y），得到x，y的范圍，從而求得x，y的值，進而求解．
解答：解：設這兩個質數分別是x，y，
由題意，可知100x+y=m•（m為整數），即200x+2y=m（x+y），
∴198x=（m-2）（x+y）．
∵m為整數，
∴198x能被（x+y）整除，
∵（x，y）=1，
∴（x，x+y）=1．
∴198能被（x+y）整除，
而198=2×3²×11，即198=2×99=3×66=6×33=9×22=11×18，
又∵11≤x≤99，11≤y≤99，x≠y，
∴24≤x+y≤196，
∴x+y=66=13+53=19+47=23+43=29+37．
∴符合條件的四位數有8個，
它們是1353，5313，1947，4719，2343，4323，2937，3729．
點評：本題主要考查了整數的整除性問題，得到198能被（x+y）整除，進而得到x，y的取值范圍是解題的關鍵．